函数正交与向量正交

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函数的正交是向量正交概念的推广。
一个函数f(x)可以视之为无穷维向量。
在n维空间中两个向量的正交是用内积这个概念来定义的：
设X=(x1,x2,...,xn),Y=(y1,y2,...,yn),
则X与Y正交定义为其内积    X*Y=x1*y1+x2*y2+...+xn*yn=0。


设f(x),g(x)是定义在[a,b]区间的两个可积函数,  f(x),g(x)中的自变量等同于(有限维)向量中分量的那个下标：
向量X中分量的下标取1,2,..,n这些离散值,而f(x)中的x是连续取[a,b]中所有的值的,即从a到b之间有无穷多个下标，因此f(x)是无穷维向量。


而两向量内积是对应分量之积的有限和，也可以对应于积分的面积：

推广到函数空间,两函数内积是对应分量(函数值)之积的无限和。这时，每一瞬间的f(x)和g(x)都是一个分量。

而 积分是有限和的极限,因此就用积分表示这个内积的无限和。

为了看清这一推广，如上图所示,将向量内积表示为X*Y=x1*y1*1+x2*y2*1+...+xn*yn*1,这个和式中每一项是由X的分量,Y的分量和1相乘之积(1看成相邻邻下标的步长，取1个单位),对应于向量内积的写法,函数内积应写为f(x)g(x)△x,它对应了[a,b]区间某子区间的值,该子区间长为△x,它类似于向量分量下标的步长,将所有这些值加起来,当最大子区间长为趋于零,有限和变为无限和,其值恰为f(x)g(x)在[a,b]的积分.

函数内积就是这样推广得来的。