2.1 开集和闭集

拓扑空间

（定义2.1） $X$X是一个拓扑空间，如果它存在一组非空子集（称为开集）族，满足

• 无限个开集的并是开集
• 有限个开集的交是开集
• 全集和空集是开集

无限开集是不是开集的例子。
设$X$X是定义在$R^2$R2上的欧式拓扑，开集取常规定义下的开圆，取其中无数个开集
${(x,y)|x^2+y^2<\frac{1}{n}}, n=1,2,\cdots$(x,y)∣x2+y2<n1​,n=1,2,⋯。
显然这无限个开集的交是原点，而原点不是开集。

邻域

对拓扑空间$X$X中的一个点（元素）$p$p，任何一个包含$p$p的开集都是$p$p的一个邻域。

子空间诱导的拓扑

$X$X是一个拓扑空间（背景集合和开集族），$Y$Y是$X$X上（背景集合）的一个子集，若定义$Y$Y中的开集为$X$X中开集和$Y$Y的交，则$Y$Y为$X$X在子空间上诱导（induce）的拓扑。

离散拓扑

$X$X中所有的子集均为开集构成的拓扑空集。

闭集

$X$X是一个拓扑空间，$X$X的一个子集称为一个闭集，如果这个子集的补为开集。

一个子集可以同时为开集和闭集。比如在$X=\{0,1\}$X={0,1}上赋予离散拓扑，则由定义，$\{0\}${0}和$\{1\}${1}显然同时为开集和闭集。

极限点

$A$A是拓扑空间$X$X的一个子集。一个点（元素）$p \in X$p∈X被称为$A$A的极限点，当且仅当对于任意$p$p的邻域，均包含至少一个点，它属于$A-\{p\}$A−{p}。

例1：$X$X是定义在$R^1$R1上的欧式拓扑，$A$A取所有$1/n, n=1,2,\cdots$1/n,n=1,2,⋯点组成的点集，则$A$A中唯一的极限点是原点。

例2：$X$X是定义在$R^1$R1上的欧式拓扑，$A$A取$[0,1)$[0,1)，则$A$A中任一点均为极限点，且1也是一个$A$A的极限点。

例3：$X$X是定义在$R^3$R3上的欧式拓扑，$A$A取$R^3$R3中所有的有理点，则$X$X全体都是极限点。

例4：$X$X是定义在$R^3$R3上的欧式拓扑，$A$A取$R^3$R3中所有的整数点，则$A$A没有极限点。

闭集和极限点的定理

（定理2.2） 一个集合是闭集，当且仅当它包含了它自身所有的极限点。

闭集和闭包的关系

（定理2.3） 子集$A$A的闭包为包含$A$A的最小闭集，或者说，子集$A$A的闭包为所有包含$A$A的闭集的交。

（推论2.4） 一个子集为闭集，当且仅当它的闭包为自身。

集合$A$A的闭包写作$\bar{A}$Aˉ。

稠密

如果一个子集的闭包为整个拓扑空间，则称这个子集是稠密的。

如上述例3中$R^3$R3上所有的有理点的集合是稠密的。

稠密集和空间中任意一个开集相交。

内部点（集）

子集$A$A的内部点（interior），通常写作$\mathring{A}$A˚，指所有包含$A$A的集合的交。

一个点$x$x属于集合$A$A的内部点，当且仅当集合$A$A是点$x$x的邻域。

开集的内部点集就是开集本身。

边界点（集）

拓扑空间$X$X中的子集$A$A的边界点（frontier）定义为$A$A的闭包和$X-A$X−A的闭包的交。

一个等价的定义为$X$X减去$A$A的内部点，再减去$X-A$X−A的内部点。

拓扑基

如果有一个拓扑空间$X$X，以及一组$X$X中的开集$\beta$β，如果$X$X中任何一个开集都可以表示成若干个$\beta$β中开集的并，则$\beta$β构成$X$X中的一个拓扑基。

一个等价的定义是，对于任何一个点$x$x，取它的邻域$N$N，$N$N中总有一个点，这个点属于$\beta$β中某一个开集。

例：对于$R^2$R2上的欧式拓扑，开圆盘是其中一个拓扑基，开矩形也是其中的一个拓扑基。

（定理2.5） 设$\beta$β是集合$X$X中的一个子集族，若有限个$\beta$β中的集合相交仍在$\beta$β中，且$\bigcup \beta = X$⋃β=X，则$\beta$β为$X$X的一个拓扑基，形成$X$X的拓扑空间。

证明：取开集族为所有$\beta$β中集合并成的集合，验证这样的开集族满足拓扑空间的三个条件即可。按开集族的取法，无限并在开集族中；按定理的条件，有限交在开集族中；按定理的条件，全集在开集族中；人工添加空集到开集族中。显然赋予这样开集族的$X$X是拓扑空间。得证。

2.2 连续函数

连续函数

（定理2.6） 拓扑空间$X$X到拓扑空间$Y$Y的函数是连续的（continuous），当且仅当$Y$Y中开集的原像（inverse image）在$X$X中是开集。

映射

连续函数通常被称为映射（map）。

（定理2.7） 映射的复合还是映射。即$f: X \rightarrow Y$f:X→Y是连续函数，$g: Y \rightarrow Z$g:Y→Z是连续函数，则$f \circ g: X \rightarrow Z$f∘g:X→Z也是连续函数。

子空间诱导拓扑下的连续函数

（定理2.8） 设$f: X \rightarrow Y$f:X→Y是连续函数，$A$A是$X$X的子集，且赋予子空间诱导的拓扑，则$f|A: A \rightarrow Y$f∣A:A→Y也是连续函数。

连续函数的性质

（定理2.9） 以下5个命题等价：

(a). $f: X \rightarrow Y$f:X→Y连续

(b). $\beta$β是$Y$Y的一个拓扑基，任何一个$\beta$β中的集合的原像是$X$X中的开集

©. $\forall A \subseteq X, f(\bar{A}) \subseteq \overline{f(A)}$∀A⊆X,f(Aˉ)⊆f(A)​

(d). $\forall B \subseteq Y, \overline{f^{-1}(B)} \subseteq f^{-1}(\bar{B})$∀B⊆Y,f−1(B)​⊆f−1(Bˉ)

(e). $Y$Y中闭集的原像都是$X$X中的闭集。

证明：证明命题等价的方法为$(a) \Rightarrow (b) \Rightarrow (c) \Rightarrow (d) \Rightarrow (e) \Rightarrow (a)$(a)⇒(b)⇒(c)⇒(d)⇒(e)⇒(a)。

$(a) \Rightarrow (b)$(a)⇒(b)，由定义显然。

$(b) \Rightarrow (c)$(b)⇒(c)，在$\bar{A}$Aˉ中任取一点$x$x，若$x \in A$x∈A，则显然$f(x) \in f(A) \subseteq \overline{f(A)}$f(x)∈f(A)⊆f(A)​；若$x \notin A$x∈/​A，则$x$x是$A$A的一个极限点。因此，我们只需要证明$x$x是$A$A的一个极限点时，$f(x)$f(x)是$f(A)$f(A)的极限点的情况。任取$f(x)$f(x)的一个邻域$N$N，由(b)，可取$Y$Y中一个拓扑基$B \in \beta$B∈β，使得$f(x) \in B \subseteq N$f(x)∈B⊆N。要证$f(x)$f(x)是$f(A)$f(A)的极限点，即证存在一点$f(x')$f(x′)，$f(x') \in N$f(x′)∈N且$f(x') \in f(A)$f(x′)∈f(A)。由(b)，$f^{-1}(B)$f−1(B)是$X$X中的开集，因为$x \in f^{-1}(B)$x∈f−1(B)且$x$x为极限点，故存在一点$x' \in A$x′∈A且$x' \in f^{-1}(B)$x′∈f−1(B)。因此显然，$f(x') \in f(A)$f(x′)∈f(A)且$f(x') \in B \subseteq N$f(x′)∈B⊆N。命题得证。

$(c) \Rightarrow (d)$(c)⇒(d)，$\forall B \subseteq Y$∀B⊆Y，$\exist A \subseteq X$∃A⊆X，使得$A = f^{-1}(B)$A=f−1(B)。代入©，得到$f(\overline{f^{-1}(B)}) \subseteq \overline{f(f^{-1}(B))} = \bar{B}$f(f−1(B)​)⊆f(f−1(B))​=Bˉ，两侧同时取$f^{-1}$f−1，则(d)得证。

$(d) \Rightarrow (e)$(d)⇒(e)，如果$B$B是$Y$Y中的闭集，则$B=\bar{B}$B=Bˉ。由(d)，$\overline{f^{-1}(B)} \subseteq f^{-1}(\bar{B}) = f^{-1}(B)$f−1(B)​⊆f−1(Bˉ)=f−1(B)，因此(e)得证。

$(e) \Rightarrow (a)$(e)⇒(a)，设$U$U是$Y$Y中的开集，则$f^{-1}(U) \amalg f^{-1}(Y-U) = X$f−1(U)⨿f−1(Y−U)=X，其中$\amalg$⨿表示无交并。（这里等号成立，是因为函数的性质决定了$f$f和$f^{-1}$f−1为一一映射且为满射。）因为闭集的原像是闭集，且因为$Y-U$Y−U是闭集，因此$f^{-1}(Y-U)$f−1(Y−U)是闭集。因此$f^{-1}(U) = X - f^{-1}(Y-U)$f−1(U)=X−f−1(Y−U)，因此开集的原像是开集。(a)得证。

连续函数的逆不一定为连续函数。

例：$X$X为$[0,1)$[0,1)赋予$R^1$R1欧式拓扑的子空间拓扑，$Y$Y为单位圆赋予$R^2$R2欧式拓扑的子空间拓扑。$f:X \rightarrow Y = e^{2\pi ix}$f:X→Y=e2πix为连续函数，因为任取$X$X上的开区间，都是$Y$Y上的开曲线区间。但$f^{-1}$f−1不是连续函数，因为$Y$Y中取跨越$(1,0)$(1,0)点的一段开曲线区间，对应于$X$X左右两侧一段开区间和一段闭区间。见图2.1。

同胚

如果存在$X$X到$Y$Y上一一对应、满射且连续的函数，且其逆函数也连续，则$X$X和$Y$Y同胚。

例：球极投影。去掉北极点的球和平面同胚。可构造从北极点向球面各点发射的射线，总是能和赤道平面相交在一点，它们显然一一对应、满射、连续、逆函数连续，因此同胚。

2.3 充满面的曲线

皮亚诺曲线

构造方法如图2.3所示。

可证明皮亚诺曲线充满了整个三角形。另外由于皮亚诺曲线是$[0,1]$[0,1]到整个面的连续映射，因此，单方向的连续映射不能推出同胚。

2.4 Tietze扩张定理

暂跳过

参考

• Basic Topology, M. A. Armstrong
• Bilibili基础拓扑学公开课