直线方程 Ax + By + C = 0 的系数A，B，C有什么几何含义？

想把这个问题说清楚，不太容易。通过这篇文章，希望我能帮大家解决一些疑惑吧。

我们先来看A和B有什么含义。

在直线上取任意两点 P1:（x1, y1）和 P2:（x2, y2），得：

Ax1 + By1 + C = 0
Ax2 + By2 + C = 0

两式相减得：

A(x1 - x2) + B(y1 - y2) = 0

设O为圆点（0，0）, 则：

$\begin{aligned} \overrightharpoon{OP1}= \begin{array} {|c|} x_{1} \\ y_{1}\\ \end{array} \end{aligned}$OP1=x1​y1​​​
$\begin{aligned} \overrightharpoon{OP2}= \begin{array} {|c|} x_{2} \\ y_{2}\\ \end{array} \end{aligned}$OP2=x2​y2​​​
$\begin{aligned} \overrightharpoon{P2P1}=\overrightharpoon{OP1}-\overrightharpoon{OP2}= \begin{array} {|c|} x_{1} - x_{2} \\ y_{1} - y_{2}\\ \end{array} \end{aligned}$P2P1=OP1−OP2=x1​−x2​y1​−y2​​​

$\overrightharpoon{P2P1}$P2P1与直线共线，上式A(x1 - x2) + B(y1 - y2) = 0，可写成向量的内积：

$\begin{array} {|c|} A \\ B \\ \end{array} \cdot \begin{array} {|c|} x_{1} - x_{2} \\ y_{1} - y_{2}\\ \end{array}=\overrightharpoon{ON}\cdot \overrightharpoon{P2P1}$AB​⋅x1​−x2​y1​−y2​​=ON⋅P2P1 = 0

其中：

$\overrightharpoon{ON}=\begin{array} {|c|} A \\ B \\ \end{array}$ON=AB​

两个向量的内积是0，根据内积的几何意义，这两个向量必然垂直。因此，系数A，B组成的向量是一个垂直于直线的向量。

在此，需要简要说明一下向量内积的几何意义，更深一层的意义，后续会出一篇文章单独来介绍。

$\overrightharpoon{V1}\cdot\overrightharpoon{V2}$V1⋅V2的内积值等于$\overrightharpoon{V2}$V2在$\overrightharpoon{V1}$V1上的投影长度乘以$\overrightharpoon{V1}$V1向量的长度，如下图：

所以当V2与V1垂直时，V2在V1上的投影长度为0，V2与V1的内积为0。投影长度具有方向性，即投影与V1同向，投影长度为正，投影与V1反向，投影长度为负。所以我们可以根据内积的值来判断，两个向量的夹角范围：

值为正：> 0度 && < 90度
值为0：= 90度
值为负：> 90度 && < 180度

好了，回到线性方程 Ax + By = -C，将其写成向量式：

$\begin{array} {|c|} A \\ B \\ \end{array}\cdot\begin{array} {|c|} x \\ y \\ \end{array}$AB​⋅xy​ = $\overrightharpoon{ON}\cdot\overrightharpoon{OP}=$ON⋅OP= -C

根据内积的几何意义，-C的值是$\overrightharpoon{OP}$OP 在 $\overrightharpoon{ON}$ON上的投影长度乘以向量$\overrightharpoon{ON}$ON的向量长度。尤其是当$\overrightharpoon{ON}$ON是单位向量（向量长度为1）时，-C的值是原点距直线的距离。

即使$\overrightharpoon{ON}$ON不是单位向量，我们也可以将其转成单位向量，Ax + By = -C两边同时除以$\sqrt{A^2 + B^2}$A2+B2​，即：
$\frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}x + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}y= \frac{-C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$A2+B2​A​x+A2+B2​B​y=A2+B2​−C​

此时：

$\overrightharpoon{ON}$ON = $\begin{array} {|c|} \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}\\ \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}} \\ \end{array}$A2+B2​A​A2+B2​B​​为单位向量，原点距直线的距离则为：$\frac{-C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$A2+B2​−C​

好了，我们总结一下：A、B系数组成的向量垂直于直线，将A，B组成的向量转成单位向量，$\frac{-C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$A2+B2​−C​即是原点距直线的距离。

知道了该几何性质，我们可以计算空间任意一点距离直线的距离。步骤如下：假设空间任意一点P，做一条平行于已知直线并且经过点P的直线$A'x + B'y = C'$A′x+B′y=C′，计算出原点距该直线的距离：$\frac{-C'}{\sqrt{A'^2 + B'^2}}$A′2+B′2​−C′​。

两距离相减得任意一点距离直线的距离：

distance = $\frac{-C'}{\sqrt{A'^2 + B'^2}}$A′2+B′2​−C′​ - $\frac{-C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$A2+B2​−C​