均匀分布(Uniform Distribution)

一个连续随机变量 $X$ 在区间 $[a, b]$ 上具有均匀分布，记作 $X \sim U n i f o r m (a, b)$ ,当它的概率密度函数满足：

\begin{matrix} (16) & f_{X} (x) = {\begin{array}{rcl} \frac{1}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 0 & x < a o r x > b \end{array} \end{matrix}

它的分布函数如下所示：

\begin{matrix} (17) & F_{X} (x) = {\begin{array}{rcl} 0 & x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 1 & x > b \end{array} \end{matrix}

分布函数的图像见下如图所示：
均匀分布

很容易的，我们可以求出相应的期望和方差：

E X = \frac{a + b}{2}

又有

\begin{array}{rcl} (18) & E X^{2} & = & \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} f_{X} (x) d x \\ (19) & = & \int_{a}^{b} x^{2} (\frac{1}{b - a}) d x \\ (20) & = & \frac{a^{2} + a b + b^{2}}{3} \end{array}

因此：

V a r (X) = E X^{2} - (E X)^{2} = \frac{(b - a)^{2}}{12}

均匀分布