Matalb&Simulink Control Tutorials笔记3-PID控制器设计

控制–PID设计

概述

考虑单位反馈系统：

PID时域：
$u(t) = K_p e(t) + K_i \int e(t) dt + K_p \frac{de(t)}{dt}$u(t)=Kp​e(t)+Ki​∫e(t)dt+Kp​dtde(t)​
拉普拉斯变换后：
$\frac{K_d s^{2} + K_p s + K_i}{s}$sKd​s2+Kp​s+Ki​​

Kp = 1;
Ki = 1;
Kd = 1;

s = tf('s');
C = Kp + Ki / s + Kd * s
%or
C = pid(Kp,Ki,Kd)
tf(C)

P I D 各环节作用

例子

质量弹簧阻尼系统。

控制方程：
$m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = F$mx¨+bx˙+kx=F
拉氏变换：
$\frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{ms^{2} + bs + k}$F(s)X(s)​=ms2+bs+k1​

m = 1 kg;
b = 10 N s / m;
k = 20 N / m;
F = 1 N;

$\frac{X(s)}{F(s)} = \frac{1}{s^{2} + 10s + 20}$F(s)X(s)​=s2+10s+201​

开环阶跃响应

s = tf('s');
P = 1/(s^2 + 10*s + 20);
step(P)

阻尼比：$10/2\sqrt{20} = 1.18$10/220​=1.18
增益：1/20 稳态误差 0.95 太大。
上升时间、稳定时间长。

比例控制

加比例控制后，单位反馈系统的闭环传递函数为：
$\frac{X(s)}{R(s)} = \frac{K_p}{s^{2} + 10s +(20+K_p)}$R(s)X(s)​=s2+10s+(20+Kp​)Kp​​

Kp = 100;
C = pid(Kp)
T = feedback(C*P,1)

t = 0:0.01:2;
step(T,t)

若$K_p$Kp​改变

Kp = 300;
C = pid(Kp)
T = feedback(C*P,1)

t = 0:0.01:2;
step(T,t)

比例控制器减小了上升时间和稳态误差，增加了过冲，并将稳定时间减少了一小部分。

比例-微分控制

$\frac{X(s)}{R(s)} = \frac{K_ds+K_p}{s^{2} + (10+K_d)s +(20+K_p)}$R(s)X(s)​=s2+(10+Kd​)s+(20+Kp​)Kd​s+Kp​​

Kp = 300;
Kd = 10;
C = pid(Kp,0,Kd)
T = feedback(C*P,1)

t = 0:0.01:2;
step(T,t)

增加微分项减少了过冲和稳定时间，并且对上升时间和稳态误差的影响可忽略不计。

比例-积分控制

$\frac{X(s)}{R(s)} = \frac{K_ps+K_i}{s^{3} + 10s^{2}+(20+K_p)s +K_i}$R(s)X(s)​=s3+10s2+(20+Kp​)s+Ki​Kp​s+Ki​​

Kp = 30;
Ki = 70;
C = pid(Kp,Ki)
T = feedback(C*P,1)

t = 0:0.01:2;
step(T,t)

我们减小了比例增益（$K_p$Kp​），因为积分还减少了上升时间并增加了过冲（同比例项的作用）。上述响应表明，在这种情况下，积分控制器消除了稳态误差。

比例-积分-微分控制

$\frac{X(s)}{R(s)} = \frac{K_ds^{2}+K_ps+K_i}{s^{3} + (10+K_d)s^{2}+(20+K_p)s +K_i}$R(s)X(s)​=s3+(10+Kd​)s2+(20+Kp​)s+Ki​Kd​s2+Kp​s+Ki​​

Kp = 350;
Ki = 300;
Kd = 50;
C = pid(Kp,Ki,Kd)
T = feedback(C*P,1);

t = 0:0.01:2;
step(T,t)

设计PID的一般提示

在为给定系统设计PID控制器时，请按照下面显示的步骤获得所需的响应。

1. 获得开环响应并确定需要改进的内容
2. 添加比例控制以改善上升时间
3. 添加微分控制以减少过冲
4. 添加积分控制以减少稳态误差
5. 每次调整的增益$K_p$Kp​，$K_I$KI​以及$K_D$KD​直到你获得所需的整体响应。

最后，请记住，如果不需要，您不需要将所有三个控制器（比例，微分和积分）实现到单个系统中。例如，如果PI控制器满足给定的要求（如上例所示），那么您不需要在系统上实现派生控制器。保持控制器尽可能简单。

可以在以下链接中找到在实际物理系统上调整PI控制器的示例。这个例子也开始说明实现控制的一些挑战，包括：控制饱和，积分器卷绕和噪声放大。

自动PID调整

（GUI）pidTuner