$\quad$ 用来在信道上传输信息的波形 $s_m(t)$ 可以是任意形式，然而，这些波形的差别在于幅度、相位或频率，由此产生不同的数字调制方法。假设输入二进制数字序列的速率为 $R bits/s$ 。

一、脉冲幅度调制PAM

$\quad$ 特点：用不同的载波幅度来承载信号。

基带PAM

信号波形： $s_m(t)=A_mp(t)(1\le m\le M)$ 。 $p(t)$ 是持续时间为 $T$ 的脉冲， $A_m$ 为脉冲幅度 $A_m=2m-1-M,m=1,2,\cdots,M$ 。即幅度是 $\pm1,\pm2,\pm(M-1)$ 。
信号能量： $\varepsilon_m=\int A_m^2p^2(t)dt=A^2_m\varepsilon_p$ ，其中 $\varepsilon_p$ 是 $p(t)$ 的能量。
平均能量： $\varepsilon_{avg}=\frac{\varepsilon_p}{M}\sum_{m-1}^MA^2_m=\frac{2\varepsilon_p}{M}[1^2+3^2+\cdots+(M-1)^2]=\frac{(M^2-1)\varepsilon_p}{3}$
平均比特能量： $\varepsilon_{bavg}=\frac{(M^2-1)\varepsilon_p}{3log_2M}$

幅移键控ASK：带通数字PAM

信号波形： $s_m(t)=Re\{A_mg(t)e^{j2 \pi f_ct}\}=A_mg(t)cos2\pi f_ct$
信号能量： $\varepsilon_m=\frac{1}{2}A^2_m\varepsilon_g$ ，其中 $\varepsilon_g$ 是 $g(t)$ 的能量。
平均能量： $\varepsilon_{avg}=\frac{(M^2-1)\varepsilon_g}{6}$
平均比特能量： $\varepsilon_{bavg}=\frac{(M^2-1)\varepsilon_g}{6log_2M}$

PAM星座图

$\quad$ PAM信号是一维的，所有的信号波形相同，仅幅度不同。如下图所示：
数字通信第三章——无记忆调制方法
$\quad$ 什么是星座图？数字通信领域中，经常将数字信号在复平面上表示，以直观的表示信号以及信号之间的关系。这种图示就是星座图。星座图特点如下：

1.星座图中，点到原点的距离代表的物理含义是：这个点对应信号的能量，离原点越远，意味着此信号能量越大。
2.相邻两个点的距离称为欧氏距离，表示的是这种调制所具有的的抗噪声性能，欧氏距离越大，抗噪声性能越好。

$\quad$ PAM将 $M=2^k$ 个信号分配出去，优选的分配方案是相邻信号的幅度相差一个二进制数字，这种映射称为格雷编码。这样，PAM信号星座图如下所示：
数字通信第三章——无记忆调制方法
$\quad$ 任意一对信号点之间的欧式距离： $d_{mn}=\sqrt{||s_m-s_n||^2}=|A_m-A_n|\sqrt{\varepsilon_p}=|A_m-A_n|\sqrt{\varepsilon_g/2}=\sqrt{2\varepsilon_g}|m-n|$
因此相邻信号点间距离为 $d_{min}=\sqrt{2\varepsilon_g}$ 。代入 $\varepsilon_{bavg}=\frac{(M^2-1)\varepsilon_g}{6log_2M}$ ，可得 $d_{min}=\sqrt{\frac{12log_2M}{M^2-1}\varepsilon_{bavg}}$ 。

PAM中 $M=2$ 时也叫双极性信号， $s_1(t)=-s_2(t)$ ，这两个信号能量相等，互相关系数为-1

二、相位调制PSK

$\quad$ 特点：用载波的M个相位传送数字信息。
$\quad$ 信号波形： $s_m(t)=Re\{g(t)e^{j2 \pi (m-1)/M}e^{j2 \pi f_ct}\}\\=g(t)cos[2\pi f_ct+\frac{2\pi}{M}(m-1)]\\=g(t)cos[\frac{2\pi}{M}(m-1)]cos2\pi f_ct-g(t)sin[\frac{2\pi}{M}(m-1)]sin\pi f_ct$

能量 $\varepsilon_m=\int s_m^2(t)dt=\frac{1}{2}\int g^2(t)dt=\frac{1}{2}\varepsilon_g$ ，这 $M$ 个波形能量相同，在星座图上就是一个圆上均匀分布 $M$ 个点。
$\varepsilon_{avg}=\varepsilon_m,\varepsilon_{bavg}=\frac{\varepsilon_g}{2log_2M}$
向量表示：令 $\phi_1(t)=\frac{2}{\varepsilon_g}g(t)cos2\pi f_ct,\phi_2(t)=-\frac{2}{\varepsilon_g}g(t)sin2\pi f_ct$ ，则 $s_m(t)=s_{m1}\phi_1(t)+s_{m2}\phi_2(t)$ ，故 $s_m=[s_{m1},s_{m2}]=[\frac{2}{\varepsilon_g}cos(\frac{2\pi}{M}(m-1)),\frac{2}{\varepsilon_g}sin(\frac{2\pi}{M}(m-1))]$

$\quad$ 根据向量表示：则 $s_m=[\frac{2}{\varepsilon_g}cos(\frac{2\pi}{M}(m-1)),\frac{2}{\varepsilon_g}sin(\frac{2\pi}{M}(m-1))]$ ，星座图如下：
数字通信第三章——无记忆调制方法
$\quad$ 任何一对信号点间欧式距离为 $d_{mn}=\sqrt{||s_m-s_n||^2}=\sqrt{\varepsilon_g[1-cos\frac{2\pi}{M}(m-n)]}$ 。
$\quad$ 最小距离为相邻信号点间距离 $d_{min}=\sqrt{\varepsilon_g[1-cos\frac{2\pi}{M}]}=\sqrt{2\varepsilon_gsin^2\frac{\pi}{M}]}$ 。
$\quad$ 将 $\varepsilon_{b}=\varepsilon_{bavg}=\frac{\varepsilon_g}{2log_2M}$ 带入可得： $d_{min}=2\sqrt{(log_2Msin^2\frac{\pi}{M})\varepsilon_b}≈2\sqrt{\frac{\pi^2log_2M}{M^2}\varepsilon_b}$

三、正交幅度调制QAM

$\quad$ QAM信号可以看作幅度和相位的组合调制， $s_m(t)=Re\{r_me^{j\theta_m}g(t)e^{j2\pi f_ct}\}=r_mg(t)cos[2\pi f_ct+\theta_m]$ ，其中 $r_m=\sqrt{A_{mi}^2+A_{mq}^2},\theta_m=tan^{-1}(A_{mq}/A_{mi})$ 。

能量 $\varepsilon_m=||s_m||^2=\frac{\varepsilon_g}{2}(A_{mi}^2+A_{mq}^2)$
矢量表示 $s_m=[A_{mi}\sqrt{\frac{\varepsilon_g}{2}},A_{mq}\sqrt{\frac{\varepsilon_g}{2}}]$
相邻两点欧氏距离 $d_{min}=\sqrt{2\varepsilon_g}$
当信号幅度取值为 $2m-1-M$ 时，信号空间图为矩形，矩形星座平均能量为 $\varepsilon_{avg}=\frac{M-1}{2}\varepsilon_g$ ，故 $\varepsilon_{bavg}=\frac{M-1}{3log_2M}\varepsilon_g$ ，带入得 $d_{min}=\sqrt{2\varepsilon_g}=\sqrt{\frac{6log_2M}{M-1}}\varepsilon_{bavg}$

PAM、PSK和QAM小结

数字通信第三章——无记忆调制方法