3D【10】网格优化:Laplacian Mesh Optimization

拉普拉斯网格优化与平滑是网格处理的经典算法，其一些基本概念可以作为神经网络预测3D mesh的一些约束，如平滑。我们先来看看一些基本概念。

基本概念

首先，我们用G=(V,E)$G=(V,E)$ 来表示一个网格。
其中V=[vT1,vT2,...,vTn]T,vi=[vix,viy,viz]T∈R3$V=[v_1^T,v_2^T,...,v_n^T{]}^T,v_i=[v_{ix},v_{iy},v_{iz}{]}^T\in R^3$是顶点，E是边。拉普拉斯坐标定义为：

其中∑{i,j}∈Ewi,j=1$\sum \{i,j\}\in E{w}_{i,j}=1$ ，并且


分别是均匀权值和余切权重。α,β$\alpha ,\beta$ 为：

上面的等式可以用矩阵表示：


其中L是n×n的拉普拉斯矩阵：

优化与平滑

拉普拉斯网格平滑求解：

Lu$L_u$ 表示利用均匀权值构建的拉普拉斯矩阵，V_d^'$\text{V\_d^'}$ 为要求解的平滑后的网格顶点。其中用了m个顶点作为约束。这样等式左边是一个（n+m）×n的矩阵乘以一个n×1的向量（x,y,z分开算），右边是一个（n+m）×1的向量。

拉普拉斯网格优化求解：

与平滑不一样的是，等式右边向量的前n个元素不再为0，而是在余切权值下计算得来的拉普拉斯坐标。

约束顶点的权值选择

论文使用顶点约束是所有的顶点。文章讨论了几种顶点约束权值选择方法。分别是常量，线性，CDF以及正切平面约束和三角面片质量约束。

总结

在python上实现了拉普拉斯网格优化和平滑，并且用3D 人脸做实验。在网格优化上，约束顶点权值类型的选择对3D 人脸的几何形状影响比较大。还有一个问题，如果三角平面是直角三角形的时候，拉普拉斯网格优化会失败。在网格平滑上，通过求解线性方程组的方法效果会比，直接将计算得到的拉普拉斯坐标加上（减去）原来的顶点坐标会效果会好很多。直接加上的话会过于平滑，但是如何通过求解线性方程组（加上顶点约束权重的控制）能够很好的控制平滑力度。

未平滑的人脸

求解线性方程平滑

直接加上拉普拉斯坐标平滑