两个高斯分布相加（卷积）的理论推导

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本文主要推导两个高斯分布的相加结果。在知乎上有个问题：正态分布随机变量的和还是正态分布吗？ _ 也是本文主要解决的问题。

高斯分布的概率密度函数：
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\delta}{e^{-\frac{(x-u)^2}{2\delta^2}}} \tag{1}$f(x)=2π​δ1​e−2δ2(x−u)2​(1)

直觉中，两个高斯（正态）随机变量的和似乎应该是两个概率密度函数的和，如下图所示，其结果就近似为两个概率密度的包络线，这明显是错误的，是用直觉推导数学，大错特错。

在解决此问题前，我们需要搞清楚两个高斯函数的和的物理意义，这里用经典的投骰子作为为例子更好理解。

• 离散卷积：投骰子 - 同时投求两个骰子所的点数相加得4的概率是多少？
  则其结果为
  $p_1(1)p_2(3)+p_1(2)p_2(2)+p_1(3)p_2(1)=\frac{1}{12}\tag{2}$p1​(1)p2​(3)+p1​(2)p2​(2)+p1​(3)p2​(1)=121​(2)

注意这里的概率为$P(X+Y=4)$P(X+Y=4)，因此卷积的物理意义不是连个概率密度相加，而是自变量相加后发生的概率，即若设 $z=x+y$z=x+y，则有 $z$z 发生的概率为：
$f(z)=\int^{ +\infty }_{ - \infty }f(x)f(z-x)dx\tag{3}$f(z)=∫−∞+∞​f(x)f(z−x)dx(3)

当理解到这里时，我们就可以很容易的计算两个高斯分布的加和了。

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两个高斯分布相加本质问题可抽象为：已知两个独立高斯分布 $N_1∼(u_1, \delta_1^2)$N1​∼(u1​,δ12​), $N_2∼(u_2, \delta_2^2)$N2​∼(u2​,δ22​)，求新的概率分布 $N =N_1+N_2∼(?,?)$N=N1​+N2​∼(?,?)

设 $N_1$N1​ 的概率分布函数为 $f_1(x)$f1​(x)， $N_2$N2​ 的概率分布函数为 $f_2(y)$f2​(y), 则此问题变为求 $f(z=x+y)$f(z=x+y)的概率密度函数？
$\begin{aligned} f(z)&=\int^{ +\infty }_{ - \infty }f_1(x)f_2(z-x)dx\\\\ &=\int^{ +\infty }_{ - \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi}\delta_1}{e^{-\frac{(x-u_1)^2}{2\delta_1^2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\delta_2}{e^{-\frac{(z-x-u_2)^2}{2\delta_2^2}}}dx \end{aligned}\tag{4}$f(z)​=∫−∞+∞​f1​(x)f2​(z−x)dx=∫−∞+∞​2π​δ1​1​e−2δ12​(x−u1​)2​⋅2π​δ2​1​e−2δ22​(z−x−u2​)2​dx​(4)
仔细一看，这里的 $f(z)$f(z) 就是在前一节《两个高斯分布乘积的理论推导》中推导的结果，这里先引用前一节的推导结果，公式7 和 公式8：
$\begin{aligned} f_1(x)f_2(x) &=S_g\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi} \delta}{e^{-\frac{(x-u)^2}{2\delta^2}}}\\\\ S_g&=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\delta_1^2+\delta_2^2)}}e^{-\frac{(u_1-u_2)^2}{2(\delta_1^2+\delta_2^2)}}\tag{5} \end{aligned}$f1​(x)f2​(x)Sg​​=Sg​⋅2π​δ1​e−2δ2(x−u)2​=2π(δ12​+δ22​)​1​e−2(δ12​+δ22​)(u1​−u2​)2​​(5)
将公式5代入公式4，其中 $f_1(x)∼(u_1, \delta_1^2)$f1​(x)∼(u1​,δ12​) , $f_2(x)∼(z-u_2, \delta_2^2)$f2​(x)∼(z−u2​,δ22​) 可得：
$\begin{aligned} f(z)&=\int^{ +\infty }_{ - \infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi}\delta_1}{e^{-\frac{(x-u_1)^2}{2\delta_1^2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\delta_2}{e^{-\frac{(x-(z-u_2))^2}{2\delta_2^2}}}dx\\\\ &=\int^{ +\infty }_{ - \infty }S_g\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi} \delta}{e^{-\frac{(x-u)^2}{2\delta^2}}}dx\\\\ &=S_g \end{aligned}\tag{6}$f(z)​=∫−∞+∞​2π​δ1​1​e−2δ12​(x−u1​)2​⋅2π​δ2​1​e−2δ22​(x−(z−u2​))2​dx=∫−∞+∞​Sg​⋅2π​δ1​e−2δ2(x−u)2​dx=Sg​​(6)

其中：
$S_g=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\delta_1^2+\delta_2^2)}}exp\bigg(-\frac{(u_1-(z-u_2))^2}{2(\delta_1^2+\delta_2^2)}\bigg)\tag{7}$Sg​=2π(δ12​+δ22​)​1​exp(−2(δ12​+δ22​)(u1​−(z−u2​))2​)(7)

则可得：
$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\delta_1^2+\delta_2^2)}}exp\bigg(-\frac{(z-(u_1+u_2))^2}{2(\delta_1^2+\delta_2^2)}\bigg)\tag{8}$f(z)=2π(δ12​+δ22​)​1​exp(−2(δ12​+δ22​)(z−(u1​+u2​))2​)(8)
对比高斯分布函数表达式，可以明显看出，$f(z)∼(u_1+u_2, \delta_1^2+\delta_2^2)$f(z)∼(u1​+u2​,δ12​+δ22​)

• 这里利用两个高斯函数的乘积的推导结果，能很快得出结论。

同时，我们可以继续推导得：
若两个独立高斯分布 $N_1∼(au_1, (A\delta_1)^2)，N_2∼(bu_2, (B\delta_2)^2)$N1​∼(au1​,(Aδ1​)2)，N2​∼(bu2​,(Bδ2​)2)
则其卷积和为 $N_1∼(u, \delta^2)$N1​∼(u,δ2)

• $u=au_1+bu_2$u=au1​+bu2​
• $\delta^2= A^2\delta_1^2+B^2\delta_2^2$δ2=A2δ12​+B2δ22​

参考文献：

https://blog.****.net/chaosir1991/article/details/106910668
https://www.zhihu.com/question/26055805
https://blog.****.net/erzhonghou0033/article/details/106639102/