矩阵变换

对角阵

对角阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。
数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。
单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵。

1.提取矩阵的对角线元素
diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。
diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量。


2.构造对角阵
diag(V)：以向量 V为主对角线元素，产生对角矩阵。
diag(V,k)：以向量 V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。

例1 先建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。

答：用一个对角阵左乘一个矩阵时，相当于用对角阵对角线的第1个元素乘以该矩阵的第一行，用对角阵对角线的第2个元素乘以该矩阵的第二行，…，依此类推。

要将A的各列元素分别乘以对角阵的对角线元素，如何实现？
答：要将A的各列元素分别乘以对角阵的对角线元素，可以用一个对角阵右乘矩阵A。

三角阵

上三角阵：矩阵的对角线以下的元素全为零的矩阵。
下三角阵：对角线以上的元素全为零的矩阵。

1.上三角矩阵
triu(A)：提取矩阵A的主对角线及以上的元素。
triu(A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素。

2.下三角矩阵
在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril，其用法与triu函数完全相同。

矩阵的转置

转置运算符是小数点后面接单引号（.’）。
共轭转置，其运算符是单引号（’），它在转置的基础上还要取每个数的复共轭。

矩阵的转置：把源矩阵的第一行变成目标矩阵的第一列，第二行变成第二列，…，依此类推。
如果矩阵的元素是实数，那么转置和共轭转置的结果是一样的。

矩阵的旋转

rot90(A,k)：将矩阵A逆时针方向旋转90º的k倍，当k为1时可省略。

矩阵的翻转

对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依此类推。

fliplr(A)：对矩阵A实施左右翻转。
flipud(A)：对矩阵A实施上下翻转。

例2 验证魔方阵的主对角线、副对角线元素之和相等。

对矩阵A实施上下翻转得到矩阵B，这样A的副对角线就移到了B的主对角线。
5阶魔方阵的主对角线、副对角线元素之和相等，都为65。

矩阵的求逆

对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得AB=BA=I (I为单位矩阵)，则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。
inv(A)：求方阵A的逆矩阵。

例3 用求逆矩阵的方法解线性方程组。

在线性方程组Ax=b两边各左乘A¯¹，得x=A¯¹b。