数据、特征和数值优化算法是机器学习的核心，而牛顿法及其改良（拟牛顿法）是机器最常用的一类数字优化算法，今天就从牛顿法开始，介绍几个拟牛顿法算法。本博文只介绍算法的思想，具体的数学推导过程不做介绍。

1. 牛顿法

牛顿法的核心思想是”利用函数在当前点的一阶导数，以及二阶导数，寻找搜寻方向“（回想一下更简单的梯度下降法，她只用了当前点一阶导数信息决定搜索方向）。

牛顿法的迭代公式是（稍微有修改，最原始的牛顿法：

其中，是线搜索方向。这个方向的含义是什么呢。有两种物理解释：

　　1. 一阶导数当前搜寻点 与 连线的方向。

　　2. 当前点泰勒展开（舍弃二阶以上项）函数中 当前搜寻点 与 泰勒展开函数极小值连线方向。

2. 拟牛顿算法

上述的牛顿法需要计算Hessian矩阵的逆矩阵，运算复杂度太高。在动辄百亿、千亿量级特征的大数据时代，模型训练耗时太久。因此，很多牛顿算法的变形出现了，这类变形统称拟牛顿算法。拟牛顿算法的核心思想用一个近似矩阵替代逆Hessian矩阵。不同算法的矩阵的计算有差异，但大多算法都是采用迭代更新的思想在tranning的没一轮更新矩阵。

下面介绍两种最常用的拟牛顿算法：

• BFGS

BFGS(Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno)的算法流程如下：

1. 初始化：初始点以及近似逆Hessian矩阵。通常，,既为单位矩阵。

2. 计算线搜索方向：

3. 用”Backtracking line search“算法沿搜索方向找到下一个迭代点：

4. 根据Armijo–Goldstein 准则，判断是否停止。

5. 计算; 以及 

6. 迭代近似逆Hessian矩阵：

上式5中的推到方法比较复杂，有兴趣的可以搜一下相关文献。

• L-BFGS

BFGS算法需要存储近似逆Hessian矩阵。对于很多应用来说（比如百度的CTR预估），千亿量级的feature数需要p存储。显然，目前的计算机技术还很难满足这样的空间需求。因此，内存受限的BFGS算法(Limited-memory BFGS)就诞生了。

L-BFGS算法不存储近似逆Hessian矩阵， 而是直接通过迭代算法获取本轮的搜索方向。

虽然L-BFGS算法不需要保存矩阵，但要保存每次迭代的中间信息，不过都是一维数组，而迭代次数有不会很多（100次以内），所以存储要求大大降低。

L-BFGS算法的流程如下：

定义:

以上两个一维数组需要保存每次迭代的结果。

再定义：

L-BFGS算法如下：

1. 初始化：初始点以及近似逆Hessian矩阵。通常，,既为单位矩阵。

2. 用”Backtracking line search“算法沿搜索方向找到下一个迭代点：。

3. 根据Armijo–Goldstein 准则，判断是否停止。

4. 更新搜索方向 ; 用下面的”two loop recursion"算法。

two loop recursion算法：

• OWQN

OWL-QN算法的全称是Orthant-Wise Limited-memory Quasi-Newton。从全称可以看出，该算法是单象限的L-BFGS算法，也就是说，OWL-QN算法每次迭代都不会超出当前象限。

为什么要加象限限制呢？L-BFGS算法需要计算函数的导数，这就要求优化函数需要处处可导。对于正则项，这个要求是满足的，但对正则项，这函数并非处处可导：

正则项具有特征选择的效果，是很多大规模机器学习算法的选择。为了牛顿法思想可以应用于正则项的机器学习算法，学者提出了OWL-QN算法。

观察式（1），正则项在任意一个象限里都是线性的，一阶导数为常数，二阶导数为0。OWL-QN算法的核心思想就是将参数每次迭代更新都限制在一个象限内，即每次迭代都不改变参数的正负性。

但是，优化过程中，很多参数的正负肯定是需要改变的。OWL-QN算法通过在下次迭代中选择合适的象限来改变参数的正负。比如，一个参数在当前点是正相权重，在线搜索时，按照标准的线搜索算法，该参数会变成负。OWL-QN算法限制了符号变换，对于需要变换符号的参数，将其置为0。待下一次迭代时，再根据情况决定该维度的搜索方向。

与L-BFGS算法相比，OWL-QN算法做了以下几点调整：

1. 采用伪梯度（pseudo-gradient）替代BFGS里的梯度

2. 线搜索是，如果某一维度变量需要跨越象限（正负号改变），则该维度值置为0

其中，1中的伪梯度是这么算的，不为0的参数，其偏微分即为其正负号（线性），若某一位为0，其梯度也置为0。

总结OWL-QN算法如下[4]：

 

 

参考文献：

1. http://en.wikipedia.org/wiki/Broyden%E2%80%93Fletcher%E2%80%93Goldfarb%E2%80%93Shanno_algorithm

2. http://en.wikipedia.org/wiki/Limited-memory_BFGS

3. http://aria42.com/blog/2014/12/understanding-lbfgs/

4. Andrew, Galen, and Jianfeng Gao. "Scalable training of L 1-regularized log-linear models." Proceedings of the 24th international conference on Machine learning. ACM, 2007.