[LYDSY3884]上帝与集合的正确用法

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题目描述

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“α”。

第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“β”。

第四天， 上帝创造了新的元素“γ”，“γ”被定义为“β”的集合。显然，一共会有16种不同的“γ”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“θ”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。

你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了10^9次元素，或10^18次，或者干脆∞次。

一句话题意

 

输入

多组数据，先输入一个整数T，接下来T行，每行一个正整数p，代表你需要取模的值。

 

输出

T行，每行一个正整数，为答案对p取模后的值

 

样例输入

3
2
3
6

样例输出

0
1
4

题意不多说，就是无穷个2相幂%p的结果 。

首先，看到指数与幂肯定是与欧拉定理的降幂有关（不懂得可以看看这篇博客：https://blog.****.net/weixin_44049566/article/details/88969858）

所以原式可以化为，那么剩余的部分可以一直化下去，直到时，便可以成为递归的中点。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio> 
using namespace std;
  
#define N 10000010
  
int book[N];
  
int qkpow(int base,int idx,int mod) {
    int sum=1;
    while(idx) {
        if(idx&1) sum=1ll*sum*base%mod;
        base=1ll*base*base%mod;
        idx/=2;
    }
    return sum;
}
  
int phi(int x) {
    int p=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++) {
        if(x%i==0) {
            p-=p/i;
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    }
    if(x>1) p-=p/x;
    return p;
}
  
int F(int x) {
    if(book[x]) {
        if(x==1) return 0;
        return book[x];
    }
    int p=phi(x);
    return book[x]=qkpow(2,F(p)+p,x);   
}
  
int main() {
    int T;
    cin>>T;
    book[1]=1;
    while(T--) {
        int x;
        cin>>x;
        cout<<F(x)<<endl;
    }
}