PKUSC2018数学试题题解（持续更新）

试题如下：

题解（由于楼主数学水平有限目前只做出了这6道题）：

第一题：
bc(b+c)+ac(c−a)−ab(a+b)$bc(b+c)+ac(c-a)-ab(a+b)$
=b2c+bc2−a2b−ab2+ac(c−a)$=b^{2}c+b{c}^2-a^{2}b-a{b}^2+ac(c-a)$
=b2(c−a)+(bc+ba)(c−a)+ac(c−a)$=b^2(c-a)+(bc+ba)(c-a)+ac(c-a)$
=(c−a)(b2+bc+ba+ac)$=(c-a)(b^2+bc+ba+ac)$
=(a+b)(b+c)(c−a)$=(a+b)(b+c)(c-a)$

第二题（反证法）：
由已知：∑1≤ i<j≤ naiaj=1$\sum _{1\le i<j\le n}{a}_i{a}_j=1$，令S=∑1≤ i≤ nai$S=\sum _{1\le i\le n}{a}_i$，
假设不存在这种删数方案，那么∀i∈n，S−ai>2–√$\forall i\in n，S-a_i>\sqrt{2}$
则(S−ai)ai>2–√ai,∑(S−ai)ai>2–√∑ai$(S-a_i)a_i>\sqrt{2}{a}_i,\sum (S-a_i)a_i>\sqrt{2}\sum a_i$
2∑aiaj>2–√S,S<2–√$2\sum a_i{a}_j>\sqrt{2}S,S<\sqrt{2}$
所以假设不成立，得证。

第三题：
(1+i1−i)n=((1+i)2(1−i)(1+i))n=in=1$({\displaystyle \frac{1+i}{1-i}}{)}^n=({\displaystyle \frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}}{)}^n=i^n=1$
所以最小正整数n=4$n=4$

第四题（数学归纳法）：
(1)$(1)$当n=1$n=1$时，显然
(2)$(2)$假设当n=k$n=k$时结论成立,则从其中第m$m$个加油站出发,汽车可以绕长为S1$S_1$的公路一周（环化直）
那么当n=k+1$n=k+1$时,添加汽油，则公路也因此延长了S=S2−S1$S=S_2-S_1$的长度,新的汽油刚好可供汽车行驶距离S$S$
不妨将第k+1$k+1$个站放在原来第m$m$个站的前面且与它的距离为S$S$，
那么汽车从第k+1$k+1$个站加油并出发，向第m$m$个站开去，则刚好能到达第m$m$个站。
由(1)$(1)$可知汽车可以走完长度为S1$S_1$的公路，则原问题化为：汽车可以绕长为S2$S_2$的公路一周。
于是当n=k+1$n=k+1$时结论也成立。
由(1)$(1)$和(2)$(2)$,可知结论对任意正整数n$n$都成立,得证。

第七题：
令α=arctan(15)，β=arctan(1239)$\alpha =arctan({\displaystyle \frac{1}{5}})，\beta =arctan({\displaystyle \frac{1}{239}})$
tan2α=2tanα1−tan2α=512，tan4α=2tan2α1−tan22α=120119$tan2\alpha ={\displaystyle \frac{2tan\alpha }{1-ta{n}^2\alpha }}={\displaystyle \frac{5}{12}}，tan4\alpha ={\displaystyle \frac{2tan2\alpha }{1-ta{n}^{2}2\alpha }}={\displaystyle \frac{120}{119}}$
tan(4α−β)=tan4α−tanβ1+tan4αtanβ=1$tan(4\alpha -\beta )={\displaystyle \frac{tan4\alpha -tan\beta }{1+tan4\alpha tan\beta }}=1$
4arctan15−arctan1239=π4$4arctan{\displaystyle \frac{1}{5}}-arctan{\displaystyle \frac{1}{239}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

第八题（平面几何）:
S=(S1−−√2+S2−−√2+S3−−√2)$S=({\sqrt{S_1}}^2+{\sqrt{S_2}}^2+{\sqrt{S_3}}^2)$