【095】深度学习读书笔记：P30证明行列式等于方阵特征值的乘积

建议读者先阅读这篇文章：【092】韦达定理在一元n次方程中的推广 搞明白什么是韦达定理。

设A表示n阶方阵。可有:

让(j₁,j₂,···,j_n)表示n个数字（1,2,···,n）的不同排列。

显然

即

求特征值，可以把 λ 看做未知数，行列式可以化作一个一元N次方程。A的特征值 λ₁，λ₂，···，λ_n 就是这个一元n次方程的解。并且根据代数基本定理，在复数范围内，这个一元n次方程一定有解。

那么，|λI-A|=0 中，次数最高的项应该是在 （-1）^{τ(1,2,···,n)}П(λ-a_ii) 中。次数第二高的项应该也在这一组连乘式子中。

为什么次数第二高的项也在（-1）^{τ(1,2,···,n)}П(λ-a_ii) 中？

行列式定义的连加运算中，每一项可以这么理解：行列式每一行都选出一个数字进行连乘，并且这些选出的数不能是同一列的。次数第二高的式子必须至少有n-1个(λ-a_ii)。然而|λI-A|的连加运算中不可能有哪一项包含 n-1 个 (λ-a_ii)。因为如果存在包含n-1个(λ-a_ii)的项，那么假设没提供 (λ-a_ii) 的那行是第k行。第k行必须从别的列上取一个数，但是其他的n-1行提供的(λ-a_ii)把其他的n-1列都占用了并且还在对角线上。这导致第k行只能去第k列取数，而k行k列显然是(λ-a_kk)，存在矛盾。所以次数第二高的项也在（-1）^{τ(1,2,···,n)}П(λ-a_ii) 中。

（-1）^{τ(1,2,···,n)}П(λ-a_ii)=П(λ-a_ii) ，把-1消掉是因为1,2,···,n 是正序。

根据 【092】韦达定理在一元n次方程中的推广 中的推论1，可知：
П(λ-a_ii) = λⁿ - ( ∑a_ii ) λ^n-1 + ··· + (-1)ⁿПa_ii

|λI-A| 的最高次数的项是 λⁿ ，系数是1 。

根据 【092】韦达定理在一元n次方程中的推广 我们要得到方阵特征值的乘积，除了知道最高次数项的系数，还需要知道常数项。在 |λI-A|=0 等号左边的多项式中，可以分成两个类别的项：1.只含有常数的项。2.含有λ的项。

第一种： 只含有常数的项。形如： （-1）^{τ(j₁,j₂,···,j_n)}(-a_1j1)(-a_2j2)···(-a_njn)

第二种： 含有λ的项。形如： （-1）^{τ(j₁,j₂,···,j_n)}(-a_1j1)···(λ-a_kjk)···(-a_njn)

k是正整数，并且k小于等于n。含有λ的项，包含有一个或多个类似 (λ-a_kjk)的项，并且这些因数的位置很可能是分散的。根据乘法的分配律，可得常数项必然是（-1）^{τ(j₁,j₂,···,j_n)}(-a_1j1)(-a_2j2)···(-a_njn)

综合考虑上面的两种情况，|λI-A|=0 等号左边的多项式中，设其常数项是C，那么：

综上所述，可证行列式等于方阵特征值的乘积。