这是我之前在剑桥大学上的一节研究生应数选修课 Image Reconstruction，之前没怎么听懂，所以这段时间想把它补起来。
这节课老师没有明确的讲义，所以我就照记着的一些书的顺序，把它复习了。
整堂课只有我一个人上 QAQ，所以应该算是在数学系里比较小众的方向吧。
因此这篇笔记 基本上是为了 我自己以后查资料或公式好找一点。
这篇笔记摘自 Fundamental of Radar Imaging. M.Cheney and B.Borden.

• 笔记总目录

引言

雷达成像 Intro

初级图像方法

• 雷达系统 由 转换电磁波 来完成 对 echo-locatio 回声位置与对反射场的测度。

• 理想系统
• $R$R 发射短脉冲与目标的距离
• $\tau$τ 发射短脉冲到返回的时间
• $c$c 短脉冲的速度
• 所以 $c\tau = 2R$cτ=2R 来回距离等于时间乘速度
• $R = \frac{c\tau}{2}$R=2cτ​

High-Range-resolution (HRR)高范围分辨率 Imaging

• 对于一些比较复杂的目标 类似飞机，它有 superposition 叠加的反射响应，同时可以认为时一维的目标图像，把这一类响应称为 HRR 轮廓。

Real-Aperture 实孔径 Imaging

• 用天线构成窄光速，并扫描区域成像。在每个光束位置与脉冲延迟，系统描绘出接收的强度。把这一类有 physical(real) 物理(真实) 孔径 所成的像称为实孔径成像。
• 把覆盖地面的区域 称为 天线的 footprint覆盖区。

Synthetic Aperture 合成孔径 Radar (SAR)

• 更有效的成像方式。
• 把 SAR 系统 platform 平台架设在飞行器上，在飞行过程中，转换信号波生成 scattered 疏散的波。然后运用数学的工具类似于 X-Ray Tomography X射线断层扫描 (CT) 生成高分辨率的图像。
  
  
  美国 华盛顿DC 的 SAR 图像 (Courtesy Sandia National Laboratories)

电磁波传播

The Equation of Electronmagnetic Wave Propagation

• Maxwell’s equation 麦克斯韦 公式在时间域:
  $\begin{aligned} \triangledown \times \mathcal{E} &=-\frac{\partial \mathcal{B}}{\partial t} \\ \triangledown \times \mathcal{H} &= \mathcal{J} + \frac{\partial \mathcal{D}}{\partial t} \\ \triangledown \cdot \mathcal{D} &= \rho \\ \triangledown \cdot \mathcal{B} &= 0 \\ \end{aligned}$▽×E▽×H▽⋅D▽⋅B​=−∂t∂B​=J+∂t∂D​=ρ=0​

• $\mathcal{E}(t,x)$E(t,x) 为 electric field 电场

• $\mathcal{B}(t,x)$B(t,x) 为 magnetic induction field 磁感应场

• $\mathcal{D}(t,x)$D(t,x) 为 electric displacement field 电位移场

• $\mathcal{H}(t,x)$H(t,x) 为 magnetic intensity field 强度磁场

• $\mathcal{J}(t,x)$J(t,x) 为 current density 电流密度

• $\rho(t,x)$ρ(t,x) 为 charge density 电荷密度

• 电场方向为 电磁场的 polarization 极化

• 在真空、干燥的空气 或 free space 自由空间中，则
  $\rho(t,x) = 0 \text{ 和 } \mathcal{J}(t,x) = 0$ρ(t,x)=0 和 J(t,x)=0

  • 同时基本关系满足
    $D = \epsilon_0 \mathcal{E} \text{ 和 } \mathcal{B} = \mu_0 \mathcal{H}$D=ϵ0​E 和 B=μ0​H

• 推导 $\triangledown^2 \mathcal{E}$▽2E:
  $\begin{aligned} \triangledown^2 \mathcal{E} &= \triangledown(\triangledown\cdot \mathcal{E}) - \triangledown \times (\triangledown \times \mathcal{E}) \\ &= \triangledown(\frac{\triangledown \cdot \mathcal{D}}{\epsilon_0}) - \triangledown \times (-\frac{\partial \mathcal{B}}{\partial t}) \\ &= \triangledown(\frac{\rho}{\epsilon_0}\Big\vert_{\rho = 0})+ \triangledown \times (\frac{\partial \mu_0 \mathcal{H}}{\partial t}) \\ &= 0 + \mu_0 \frac{\partial^2 \mathcal{D}}{\partial t^2}\\ {\color{blue}\triangledown^2 \mathcal{E}} &{\color{blue} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathcal{E}}{\partial t^2}} \end{aligned}$▽2E▽2E​=▽(▽⋅E)−▽×(▽×E)=▽(ϵ0​▽⋅D​)−▽×(−∂t∂B​)=▽(ϵ0​ρ​∣∣∣​ρ=0​)+▽×(∂t∂μ0​H​)=0+μ0​∂t2∂2D​=μ0​ϵ0​∂t2∂2E​​

• 因此 在 Cartesian Coordinates 笛卡儿坐标里， 每个 $\mathcal{E}$E 元素满足 scalar wave equation 标量波动方程。

• 在自由空间中，常数波速 $c = (\mu_0 \epsilon_0)^{-1/2} \approx 3\cdot 10^8 \text{m/sec}$c=(μ0​ϵ0​)−1/2≈3⋅108m/sec

Plane Wave 平面波

• Linearly Polarized Field 线式偏振场

$\mathcal{E}(t,x) = Ee^{-i\omega (t-\hat{e}\cdot x/c)}$E(t,x)=Ee−iω(t−e^⋅x/c)

$\mathcal{H}(t,x) = He^{-i\omega (t-\hat{e}\cdot x/c)}$H(t,x)=He−iω(t−e^⋅x/c)

• $\hat{e}$e^ unit vector 单位矢量
• $E, H, \hat{e}$E,H,e^ mutually perpendicular 相互垂直
• $\hat{E}$E^ 线式偏振场的极化

理想电导体边界条件

Boundary Conditions for a Perfect Electrical Conductor (PEC)

• 理想导电体 允许电荷 在场内 自由的运动与立即响应，所以场在理想电导体内为零。
• generalized Stokes’ Theorem 传统斯托克斯定理:
  • 在理想导电体外的电磁场必须满足:
    $\hat{n} \times \mathcal{E} = 0 \;\text{ 和 }\; \hat{n}\times \mathcal{H} = \mathcal{J}_S$n^×E=0 和 n^×H=JS​
    • $\mathcal{J}_S$JS​ 定义为 surface current 表面电流。
  • 电场的切向分量为零
  • 磁场的切向分量为理想导电体的表面电流。

角频率域的波动方程

The Wave Equation in the Angular Frequency Domain

• 使用傅里叶变换
  $E(\omega) = \int e^{i\omega t}\mathcal{E}(t)dt$E(ω)=∫eiωtE(t)dt
  $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0},\; k = \frac{\omega}{c},\; \omega = 2\pi v, \;\lambda = \frac{c}{v}$c2=μ0​ϵ0​1​,k=cω​,ω=2πv,λ=vc​

• 上式波动方程

${\color{blue}\triangledown^2 E + k^2 E = 0}$▽2E+k2E=0

雷达频带 图示

Decibels 分贝

$\text{Bel} = \log_{10}(\frac{\text{power in}}{\text{power out}})$Bel=log10​(power outpower in​)

$\begin{aligned}\text{dB} &= 10 \cdot \log_{10}(\frac{\text{power in}}{\text{power out}})\\& = 10 \cdot \log_{10}(\frac{V^2_\text{in}}{V^2_\text{out}}) \\&= 20 \cdot \log_{10}(\frac{V_\text{in}}{V_\text{out}}) \end{aligned}$dB​=10⋅log10​(power outpower in​)=10⋅log10​(Vout2​Vin2​​)=20⋅log10​(Vout​Vin​​)​