CT技术概念

传统X射线原理

使得无法分辨透明度和无法分辨数量

CT技术原理

CT技术：在不同深度的断面上，从各个角度用探测器接收旋转的X光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线**。

X射线强度衰减与图像重建的数学原理

$I:射线强度 \quad l:物质在射线方向的厚度$I:射线强度l:物质在射线方向的厚度
$I_0:入射强度 \quad μ:物质对射线的衰减系数$I0​:入射强度μ:物质对射线的衰减系数

• 射线强度与衰减率成正比$\frac{dI}{dl}=-μI$dldI​=−μI从而可以得出$I=I_0e^{-μl}$I=I0​e−μl。
• 射线沿直线L穿行，穿过由不同衰减系数的物质组成的非均匀物体（人体器官）。
  $μl=\int_L{μ(x,y)} \,{\rm d}l$μl=∫L​μ(x,y)dl
  $\qquad↓$↓
  $I=I_0exp(-\int_L{μ(x,y)} \,{\rm d}l)$I=I0​exp(−∫L​μ(x,y)dl)
  $\qquad↓$↓
  $\int_L{μ(x,y)} \,{\rm d}=㏑\frac{I_0}{I}$∫L​μ(x,y)d=㏑II0​​

测$I$I得到$μ(x,y)$μ(x,y)函数,从而分析此处的物质是什么（反映人体器官大小、形状、密度的图像）。

数学原理：
$P_f(L)=\int_L{μ(x,y)} \,{\rm d}l$Pf​(L)=∫L​μ(x,y)dl（拉东变换）
而所求的问题是求拉东变换的逆变换。
Q

$F_Q(q)：与Q相距q的直线L的线积分P_f(L)对所有的q的平均值$FQ​(q)：与Q相距q的直线L的线积分Pf​(L)对所有的q的平均值

实际上只能在有限条直线上得到投影（线积分）

图像重建的代数模型

m个像素（j=1,……,m），n束射线（i=1,…,n）
每个像素对射线的衰减系数是常数。

$μ_j：像素j的衰减系数$μj​：像素j的衰减系数
$Δl_j：射线在j中的穿行长度$Δlj​：射线在j中的穿行长度
$J(L_i)：射线L_i穿过的像素j的集合$J(Li​)：射线Li​穿过的像素j的集合
$㏑(I_0/I)：L_i的强度测量数据$㏑(I0​/I)：Li​的强度测量数据

可以将积分公式转化成求和公式

常用算法

$㏑(I_0/I)=b_i,μ_j=x_j$㏑(I0​/I)=bi​,μj​=xj​设像素的边长和射线的宽度均为σ

中心线法

$a_{ij}表示射线L_i的中心线在像素j内的长度l_{ij}与σ之比$aij​表示射线Li​的中心线在像素j内的长度lij​与σ之比

$\sum_{j=1}^{m}a_{ij}x_j=b_i,i=1,2,...,n$∑j=1m​aij​xj​=bi​,i=1,2,...,n

可以写成线性方程组$Ax=b$Ax=b

面积法

$a_{ij}射线L_i在像素j内的面积s_{ij}与像素面积σ^2之比$aij​射线Li​在像素j内的面积sij​与像素面积σ2之比

中心法的简化形式

假设射线的宽度为零，间距σ
$a_{ij}=1:表示经过像素j内任意一点$aij​=1:表示经过像素j内任意一点

根据A和b，由Ax=b确定像素的衰减系数向量x，
m和n很大且m＞n，方程有无穷多解+测量误差和噪声
$Ax+e=b$Ax+e=b
在x和e满足的最优准则下估计x