一 样例      

二 公式描述

三 参考文献

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          最大期望算法（Expectation-maximization algorithm，又译为期望最大化算法），是在概率模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测的隐性变量。

          最大期望算法经过两个步骤交替进行计算：

           第一步是计算期望（E），利用对隐藏变量的现有估计值，计算其最大似然估计值；

           第二步是最大化（M），最大化在E步上求得的最大似然值来计算参数的值。M步上找到的参数估计值被用于下一个E步计算中，这个过程不断交替进行。

一 样例      

        举个例子，抛硬币，有两个硬币，但是两个硬币的材质不同导致其出现正反面的概率不一样，目前我们只有一组观测数据，要求出每一种硬币投掷时正面向上的概率。总共投了五轮，每轮投掷五次，现在先考虑一种简单的情况，假设我们知道这每一轮用的是哪一个硬币去投掷的：

 

        那么我们拿着这样的一组数据，就可以很轻松的估计出A硬币和B硬币出现正面的概率，如下：

        PA = （3+1+2）/ 15 = 0.4

        PB= （2+3）/10 = 0.5

        现在把问题变得复杂一点，假设我们不知道每一次投掷用的是哪一种硬币，等于是现在的问题加上了一个隐变量，就是每一次选取的硬币的种类。

 

        那么现在可以想一想，假设我们把每一次硬币的种类设为z,则这五次实验生成了一个5维的向量(z1,z2,z3,z4,z5)，现在问题来了，如果我们要根据观测结果去求出PA,PB，那么首先需要知道z，但是如果用最大似然估计去估计z，又要先求出PA,PB。这就产生了一个循环。那么这个时候EM算法的作用就体现出来了，EM算法的基本思想是：先初始化一个PA,PB，然后我们拿着这个初始化的PA,PB用最大似然概率估计出z，接下来有了z之后就用z去计算出在当前z的情况下的PA,PB是多少，然后不断地重复这两个步骤直到收敛。

        有了这个思想之后现在用这个思想来做一下这个例子，假设初始状态下PA=0.2, PB=0.7，然后我们根据这个概率去估计出z：

 

        按照最大似然估计，z=(B,A,A,B,A)，有了z之后我们反过来重新估计一下PA,PB：

         PA = （2+1+2）/15 = 0.33

         PB =（3+3）/10 = 0.6

        可以看到PA,PB的值已经更新了，假设PA,PB的真实值0.4和0.5，那么你在不断地重复这两步你就会发现PA,PB在不断地靠近这两个真实值。

二 公式描述

        假设目标函数表示为：

                                                                             

其中为概率分布的参数，在没有隐变量的情况下，我们求解L的最大值的套路是先对L取对数，将连乘的形式转换成累加的形式，然后就可以对未知数进行求导，只需要求得导数为0的位置未知量的值即为目标函数的极大值。但是，如果概率分布中有隐变量存在时，我们用全概率公式把隐变量在上式中体现出来：

全概率公式：

其中A需是一组完备事件组且都有正概率，则对任意B上式都成立。

                                                                 

两边同时取对数ln:

                                                         

从上式中可以看出，如果要按照之前的套路，那就需要对上式进行求偏导，但是由于ln中还包含了求和项，在偏导数中的形式将会非常复杂，而且很难求得解析解。因此需要找到一种办法去求得解析解的近似解，这里就引入了EM算法。为了表述的方便性，在这里用代表，则：

                                              

对于求解近似解，EM算法采用的是迭代的方式不断地逼近真实值，假设第n次迭代的参数值为，第n+1次迭代的参数值为，那么其实只要满足就可以不断地进行迭代。现在假设我们已经进行到了第n次迭代，也就是说目前是作为已知的值，那么来看一看

由于这里是作为常数的，因此右式中的第二项可以不用将隐变量体现出，化简如下：

                    

                    

上式中，其实只需要关注求和里面的项就好了，做一个标注，记为I项，记为II项，接下来分别对这两项进行化简：

I项：

                   

上式中的变换是因为

接下来还会用到Jensen不等式，Jensen不等式是这么描述的：

假设f(x)为凸函数，X是随机变量，那么：E[f(X)]>=f(E[X])，通俗的说法是函数的期望大于等于期望的函数。

特别地，如果f是严格凸函数，当且仅当  ，即  是常量时，上式取等号，即，如下图所示：

                                                

 

 

再观察一下I项，感觉有一些像能够用Jensen不等式进行再一次的化简，下面写的直观一点：

                          

把当成X，那么上式就是EX，又因为ln函数是凹函数，所以根据Jensen不等式有f(E[X])>=E[f(X)]，则

                    

II项：

                    

                                     

然后再把I-II合并起来看一下：

            

           

           

将上式代回，

将右边的这一大串记为，称为下边界函数，EM算法的目的是要取得目标函数的极大值，那么可以通过不断地提升下边界函数值来不断地提升目标函数的值，接下来，再看一下，将其化简为便于优化迭代的形式：

                                        

可以看到在等式的右边，由于我们之前的假设是是已知的，那么把已知量和未知量分开：

 

                                                     

上式中，等号右边的第一项中带未知项，第二项和第三项都是常数，所以接下来的过程就简单了，我们只要对这个式子求偏导，求得此时取极大值时的取值，这个值就是进入到下一步迭代是的概率分布参数值，有了之后就可以获得，然后不断地迭代直到收敛。图示的话如下：

 

三 参考文献

1. 如何通俗理解EM算法