笔记——进制转换方法

我们都会学习数学，也知道数学中基本上都是使用 十进制，当我们接触 OI 会认识 二进制，八进制，十六进制等，下面，让我来介绍一下这些进制：

• 十进制：
  所为十进制，就是满十进一，在一串数字中，只有 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这些数，不会出现 9 以上的数，这就是满十进一的十进制，也是人们最熟悉的一种进制，计算难度低。

• 二进制：
  所为二进制，就是满二进一，在一串数字中，只有 0 1 这些数，不会出现 1 以上的数，这就是满二进一的二进制，是人们较为熟悉的一种进制，也是计算机使用的一种进制，计算难度中等。

• 八进制：
  所为八进制，就是满八进一，在一串数字中，只有 0 1 2 3 4 5 6 7 这些数，不会出现 7 以上的数，这就是满八进一的八进制，是人们较为不熟悉的一种进制，计算难度中等。

• 十六进制：
  所为十六进制，就是满十六进一，在一串数字中，只有 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 这些数，不会出现 F 以上的数，这就是满十六进一的十六进制，是人们不熟悉的一种进制，计算难度较高，因为要用 A B C D E F 分别代替 10 11 12 13 14 15。

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下面，让我来教大家如何把十进制数转换为其他进制

• 十进制转二进制

短除法结束条件：n<2

例如，十进制45转换成二进制就是101101

• 十进制转八进制

短除法结束条件：n<8

例如，十进制45转换成八进制就是55

• 十进制转十六进制

短除法结束条件：n<F

例如，十进制45转换成八进制就是2D

• 十进制转k进制

  

  短除法结束条件：n<(k-1)

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接着，我们要知道如何把一个其他进制数转换为十进制

• 二进制转十进制

  $2^4\ 2^3\ 2^2\ 2^1\ 2^0$24 23 22 21 20
  $↓\ \ \,↓\ \ \,↓\ \ \,↓\ \ \,↓$↓  ↓  ↓  ↓  ↓
  $1\ \ \,1\ \ \,0\ \ \,0\ \ \,1$1  1  0  0  1

  然后这样计算：

  $1\times2^0+0\times2^1+0\times2^2+1\times2^3+1\times2^4$1×20+0×21+0×22+1×23+1×24

  $=1+0+0+8+16$=1+0+0+8+16

  $=25$=25

  可以得到，11001 对应的十进制就是 25

• 八进制转十进制

  $8^4\ 8^3\ 8^2\ 8^1\ 8^0$84 83 82 81 80
  $↓\ \ \,↓\ \ \,↓\ \ \,↓\ \ \,↓$↓  ↓  ↓  ↓  ↓
  $2\ \ \,3\ \ \,4\ \ \,2\ \ \,0$2  3  4  2  0

  然后这样计算：

  $0\times8^0+2\times8^1+4\times8^2+3\times8^3+2\times8^4$0×80+2×81+4×82+3×83+2×84

  $=0+16+256+1536+8192$=0+16+256+1536+8192

  $=10000$=10000

  可以得到，23420 对应的十进制就是 10000

• 十六进制转十进制

  $16^3\ 16^2\ 16^1\ 16^0$163 162 161 160
  $\ ↓\quad\ ↓\quad\ ↓\quad\ ↓$ ↓ ↓ ↓ ↓
  $\,A\quad\,0\quad\ 2\quad D$A0 2D

  然后这样计算：

  $13\times16^0+2\times16^1+0\times16^2+10\times16^3$13×160+2×161+0×162+10×163

  $=13+32+0+40960$=13+32+0+40960

  $=41005$=41005

  可以得到，A02D 对应的十进制就是 41005

• k进制转十进制

  $k^3\ k^2\ k^1\ k^0$k3 k2 k1 k0
  $↓\ \ \ ↓\ \ \ ↓\ \ \ ↓$↓   ↓   ↓   ↓
  $a\ \ \ b\ \ \ c\ \ \ d$a   b   c   d

  然后这样计算：

  $d\times k^0+c\times k^1+b\times k^2+a\times k^3$d×k0+c×k1+b×k2+a×k3

  $=e+f+g+h$=e+f+g+h

  $=sum$=sum

  按照这样的计算方法就可以把一个其他进制数转换为十进制了

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