计算椭圆上坐标分两步，求离心角和根据离心角求椭圆上坐标。

椭圆方程

椭圆方程是
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=\left(cos\left(t\right)\right)^2+\left(sin\left(t\right)\right)^2=1$
这个 $t$ 就是离心角的角度。

求离心角

如下图，已知椭圆的角 $p$ ，要求主离心角 $t$ 。如下图，小圆为椭圆内切，大圆为椭圆外切。虚线除OE外，全为垂线。
根据角度求椭圆上坐标
根据椭圆方程，可知E的y坐标 $E_y = b*sint\left(t\right)=A_y$
又有
$tan\left(t\right)=BD/OD$ $tan\left(p\right)=ED/OD$
那么 $\frac{tan\left(t\right)}{tan\left(p\right)} = \frac{BD}{ED}=\frac{BD}{AC}=\frac{OD}{OC}=\frac{a}{b}$
所以， $tan\left(t\right)=tan\left(p\right)*\frac{a}{b}$

求解 $t$ 值时，用函数 $atan2(x,y)$ ，这样求出的值是[ $-\pi$ , $\pi$ ]，使用 $atan$ 得到的值在[ $-\frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2}$ ]

根据离心角求椭圆上给定角度的坐标

根据椭圆公式，可得
$x = a*cos\left(t\right)$ $y = b*sin\left(t\right)$

椭圆出现平移及旋转的情况

这种情况，需要先将椭圆旋转并平移到标准椭圆位置，计算完点坐标再反算回去。如下图
根据角度求椭圆上坐标

旋转后的椭圆坐标与标准椭圆坐标的对应关系如下所示公式：
$\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = R*\left(\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}X_c \\ Y_c\end{pmatrix}\right)$
其中， $R=\begin{pmatrix} cos\left(\gamma \right) & sin\left(\gamma \right) \\ -sin\left(\gamma \right) & cos\left(\gamma \right) \end{pmatrix}$
且 $R^{-1}=R^{T}=\begin{pmatrix} cos\left(\gamma \right) & -sin\left(\gamma \right) \\ sin\left(\gamma \right) & cos\left(\gamma \right) \end{pmatrix}$
那么，旋转后的椭圆上点坐标公式为
$\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix} = R^{-1}*\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}X_c \\ Y_c\end{pmatrix}$
最终，
$\begin{array}{c} X= cos\left(\gamma \right)*x -sin\left(\gamma \right)*y = cos\left(\gamma \right)*a*cos\left(t\right) -sin\left(\gamma \right)*b*sin\left(t\right)+X_c \\ Y= sin\left(\gamma \right)*x +cos\left(\gamma \right)*y = sin\left(\gamma \right)*a*cos\left(t\right) +cos\left(\gamma \right)*b*sin\left(t\right)+Y_c \end{array}$
参考：
网页1
网页2

根据角度求椭圆上坐标

椭圆方程

求离心角

根据离心角求椭圆上给定角度的坐标

椭圆出现平移及旋转的情况

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