简化正则化 (Regularization for Simplicity)

正则化指的是降低模型的复杂度以减少过拟合

学习目标

• 了解复杂度与泛化之间的权衡。
• 使用 L₂ 正则化进行实验。

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简化正则化 (Regularization for Simplicity)：L₂ 正则化

请看以下泛化曲线，该曲线显示的是训练集和验证集相对于训练迭代次数的损失。

图 1. 训练集和验证集损失

图 1 显示的是某个模型的训练集的损失逐渐减少，但在测试集的损失最终增加。

换言之，该泛化曲线显示该模型与训练集中的数据过拟合。根据奥卡姆剃刀定律，或许我们可以通过降低复杂模型的复杂度来防止过拟合，这种原则称为正则化。

也就是说，并非只是以最小化损失（经验风险最小化）为目标：

而是以最小化损失和复杂度为目标，这称为结构风险最小化：

现在，我们的训练优化算法是一个由两项内容组成的函数：

损失项：用于衡量模型与数据的拟合度，

正则化项：用于衡量模型复杂度。

本课重点介绍了两种衡量模型复杂度的常见方式（这两种方式有些相关）：

• 将模型复杂度作为模型中所有特征的权重的函数。
• 将模型复杂度作为具有非零权重的特征总数的函数。（后面的一个单元介绍了这种方法。）

如果模型复杂度是权重的函数，则特征权重的绝对值越高，模型就越复杂。

我们可以使用 L₂ 正则化公式来量化复杂度，该公式将正则化项定义为所有特征权重的平方和：

在这个公式中，接近于 0 的权重对模型复杂度几乎没有影响，而离群值权重则可能会产生巨大的影响。

例：某个线性模型具有以下权重：

但w3(上述加粗内容）的平方值为 25，几乎贡献了全部的复杂度。所有 5 个其他权重的平方和对 L₂正则化项的贡献仅为 1.915。

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简化正则化 (Regularization for Simplicity)：Lambda

模型开发者通过以下方式来调整正则化项的整体影响：用正则化项的值乘以名为 lambda（又称为正则化率）的标量。也就是说，模型开发者会执行以下运算：

执行 L₂ 正则化对模型具有以下影响

• 使权重值接近于 0（但并非正好为 0）
• 使权重的平均值接近于 0，且呈正态（钟形曲线或高斯曲线）分布。

增加 lambda 值将增强正则化效果如上图左图所示：可能得到 lambda 值较高的权重直方图

降低 lambda 值将减弱正则化效果如上图右图所示：降低 lambda 的值往往会得出比较平缓的直方图

在选择 lambda 值时，目标是在简单化和训练数据拟合之间达到适当的平衡：

• 如果 lambda 值过高，模型会非常简单，将面临数据欠拟合的风险。模型将无法从训练数据中获得足够的信息来做出有用的预测。

• 如果 lambda 值过低，模型会比较复杂，将面临数据过拟合的风险。模型将因获得过多训练数据特点方面的信息而无法泛化到新数据。

注意：将 lambda 设为 0 可彻底取消正则化。 在这种情况下，训练的唯一目的将是最小化损失，而这样做会使过拟合的风险达到最高。

理想的 lambda 值生成的模型可以很好地泛化到以前未见过的新数据。 遗憾的是，理想的 lambda 值取决于数据，因此您需要手动或自动进行一些调整。

注：学习速率和 lambda 之间存在密切关联。强 L₂ 正则化值往往会使特征权重更接近于 0。较低的学习速率（使用早停法）通常会产生相同的效果，因为与 0 的距离并不是很远。 因此，同时调整学习速率和 lambda 可能会产生令人混淆的效果。

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练习：点击打开链接

将正则化率从 0 增至 0.3 会产生以下影响：

• 测试损失明显减少。

  注意：虽然测试损失明显减少，训练损失实际上却有所增加。这属于正常现象，因为您向损失函数添加了另一项来降低复杂度。最终，最重要的是测试损失，因为它是真正用于衡量模型能否针对新数据做出良好预测的标准。

• 测试损失与训练损失之间的差值明显减少。
• 特征和某些特征组合的权重的绝对值较低，这表示模型复杂度有所降低。

由于数据集具有随机性，因此无法预测哪个正则化率能得出最准确的结果。 对我们来说，正则化率为 0.3 或 1 时，一般测试损失降至最低。

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