基本运算

调制

  两个序列样本值的乘积，指的是将两个序列的样本值逐点对应相乘，从而得到新的序列：
$y[n]=x[n]w[n]$y[n]=x[n]w[n]
在一些应用中，序列的乘积也叫做调制，实现该运算的器件称为调制器。

相乘

  一个序列的每个样本值都乘以标量A以产生新的序列
$y[n]=Ax[n]$y[n]=Ax[n]
实现相乘运算的器件称为乘法器。

相加

  把两个序列的样本值逐点的相加得到新的序列
$y[n]=x[n]+w[n]$y[n]=x[n]+w[n]
实现该运算的器件称为加法器。

时移

  时移运算表现为
$y[n]=x[n-N]$y[n]=x[n−N]
若$N&gt;0$N>0，则称之为延迟运算，若$N&lt;0$N<0则称之为超前运算。

  单位延迟为延迟一个单位，即
$y[n]=x[n-1]$y[n]=x[n−1]
在$Z$Z变换中，延迟一个单位相当于乘以$z^{-1}$z−1，所以在方框图用$z^{-1}$z−1表示延迟一个单位

  同理，单位超前一个单位可以写为
$y[n]=x[n+1]$y[n]=x[n+1]
在$Z$Z变换中，超前一个单位相当于乘以$z$z，所以在方框图用$z$z表示超前一个单位

反褶

  序列的反褶表现为
$y[n]=x[-n]$y[n]=x[−n]

  下面给出一些序列运算的例子，我将以图形的形式给出


调制

相加

单位延迟

单位超前

反褶

  大多数的应用都是采用上述基本运算的组合。

卷积和

  $x[n]$x[n]和$h[n]$h[n]为两个序列，这两个序列通过卷积和后产生新的序列是
$y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]$y[n]=m=−∞∑∞​x[m]h[n−m]
至于为什么会有卷积和这种运算，之后在介绍，卷积和可以说是信号与系统分析中最重要的运算之一。

  观察卷积和的表达式，发现卷积和也是由基本运算组成的：首先对$h[m]$h[m]进行反褶得到$h[-m]$h[−m]，然后进行时移运算，由$h[-m]$h[−m]得到$h[-(m-n)]=h[n-m]$h[−(m−n)]=h[n−m]，然后进行调制运算$x[m]h[n-m]$x[m]h[n−m]，最后进行相加运算得到$y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]$y[n]=∑m=−∞∞​x[m]h[n−m]，所以一个卷积和运算是由反褶，时移，调制，相加等基本运算组成的。

  其实在实际的计算，计算过程就是由我上面所说的过程组成，从这里就可以看到，其实做卷积和运算是比较麻烦的，在学习变换域时，有更好的办法进行卷积和运算。

  卷积和一般也写成$y[n]=x[n]*y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]$y[n]=x[n]∗y[n]=m=−∞∑∞​x[m]h[n−m]

  在这里给出一个卷积和计算的例子(当然是图形了)：

卷积和$y[n]=x[n]*w[n]$y[n]=x[n]∗w[n]

抽样率转换

  从一个序列生成抽样率高于或低于它的序列叫做抽样率转换。

  假设$x[n]$x[n]是以频率$F_THz$FT​Hz抽样得到的序列，由$x[n]$x[n]得到的$y[n]$y[n]的序列抽样频率为$F^{&#x27;}_THz$FT′​Hz，定义抽样率转换比
$\frac{F^{&#x27;}_T}{F_T}=R$FT​FT′​​=R
如果$R&gt;1$R>1，也就是说$F^{&#x27;}_T &gt; F_T$FT′​>FT​，得到的抽样频率变大了，由$x[n]$x[n]得到抽样频率更大的$y[n]$y[n]的运算叫做内插，实现该运算的叫做内插器。反之如果得到的抽样频率更小，那么该运算叫做抽取，相应实现该运算的叫做抽取器。

  那么为什么叫做内插和抽取呢？到底内插和抽取是怎么样的一个过程。

  假设序列$x[n]$x[n]是以频率$F_T$FT​对信号进行抽样，而另一个信号$y[n]$y[n]的抽样频率$F^{&#x27;}_T$FT′​是$x[n]$x[n]的两倍，那么这就意味着$y[n]$y[n]的样本值的个数是$x[n]$x[n]的两倍，所以从$x[n]$x[n]得到$y[n]$y[n]就得"插入"多余的那些样本值，一般插入的都是0。假设$F_T^{&#x27;}=2F_T$FT′​=2FT​，那么$x[n]$x[n]就得每隔一点插入一个0。

  我以一个例子来说明内插是一个什么样的过程，假设$F_T^{&#x27;}=2F_T$FT′​=2FT​

  一般的如果$F^{&#x27;}_T=LF_T,L&gt;1$FT′​=LFT​,L>1，那么$y[n]$y[n]与$x[n]$x[n]之间的关系为
$y[n]= \begin{cases} x[n/L],\quad &amp;n=0,\pm L, \pm 2L, ...\\ 0,\quad&amp;其他 \end{cases}$y[n]={x[n/L],0,​n=0,±L,±2L,...其他​

  相反，如果得到序列的抽样频率更低的话，也就是说$x[n]$x[n]的样本值个数更多，就得减少$x[n]$x[n]的个数，具体的做法就是抽取，如果$F_T=2F^{&#x27;}_T$FT​=2FT′​的话，那么就每隔一个抽取一个样本值。

  同样以一个例子演示抽取的过程：

  一般的如果$F_T=MF_T^{&#x27;},M&gt;1$FT​=MFT′​,M>1，那么$y[n]$y[n]与$x[n]$x[n]之间的关系为
$y[n]=x[nM]$y[n]=x[nM]