Matrix Factorization

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本文介绍矩阵分解思想及其在推荐系统上的应用，分析用户背后的隐藏属性并预测其行为

Introduction

接下来介绍矩阵分解的思想：有时候存在两种object，它们之间会受到某种共同潜在因素(latent factor)的操控，如果我们找出这些潜在因素，就可以对用户的行为进行预测，这也是推荐系统常用的方法之一

假设我们现在去调查每个人购买的公仔数目，ABCDE代表5个人，每个人或者每个公仔实际上都是有着傲娇的属性或天然呆的属性

我们可以用vector去描述人和公仔的属性，如果某个人的属性和某个公仔的属性是match的，即他们背后的vector很像(内积值很大)，这个人就会偏向于拥有更多这种类型的公仔

matrix expression

但是，我们没有办法直接观察某个人背后这些潜在的属性，也不会有人在意一个肥宅心里想的是什么，我们同样也没有办法直接得到动漫人物背后的属性；我们目前有的，只是动漫人物和人之间的关系，即每个人已购买的公仔数目，我们要通过这个关系去推测出动漫人物与人背后的潜在因素(latent factor)

我们可以把每个人的属性用vector $r^A$rA、$r^B$rB、$r^C$rC、$r^D$rD、$r^E$rE来表示，而动漫人物的属性则用vector $r^1$r1、$r^2$r2、$r^3$r3、$r^4$r4来表示，购买的公仔数目可以被看成是matrix $X$X，对$X$X来说，行数为人数，列数为动漫角色的数目

做一个假设：matrix $X$X里的每个element，都是属于人的vector和属于动漫角色的vector的内积

比如，$r^A\cdot r^1≈5$rA⋅r1≈5，表示$r^A$rA和$r^1$r1的属性比较贴近

接下来就用下图所示的矩阵相乘的方式来表示这样的关系，其中$K$K为latent factor的数量，这是未知的，需要你自己去调整选择

我们要找一组$r^A$rA~$r^E$rE和$r^1$r1~$r^4$r4，使得右侧两个矩阵相乘的结果与左侧的matrix $X$X越接近越好，可以使用SVD的方法求解

prediction

但有时候，部分的information可能是会missing的，这时候就难以用SVD精确描述，但我们可以使用梯度下降的方法求解，loss function如下：
$L=\sum\limits_{(i,j)}(r^i\cdot r^j-n_{ij})^2$L=(i,j)∑​(ri⋅rj−nij​)2
其中$r^i$ri值的是人背后的latent factor，$r^j$rj指的是动漫角色背后的latent factor，我们要让这两个vector的内积与实际购买该公仔的数量$n_{ij}$nij​越接近越好，这个方法的关键之处在于，计算上式时，可以跳过missing的数据，最终通过gradient descent求得$r^i$ri和$r^j$rj的值

假设latent factor的数目等于2，则人的属性$r^i$ri和动漫角色的属性$r^j$rj都是2维的vector，这里实际进行计算后，把属性中较大值标注出来，可以发现：

• 人：A、B属于同一组属性，C、D、E属于同一组属性

• 动漫角色：1、2属于同一组属性，3、4属于同一组属性

• 结合动漫角色，可以分析出动漫角色的第一个维度是天然呆属性，第二个维度是傲娇属性

• 接下来就可以预测未知的值，只需要将人和动漫角色的vector做内积即可

这也是推荐系统的常用方法

more about matrix factorization

实际上除了人和动漫角色的属性之外，可能还存在其他因素操控购买数量这一数值，因此我们可以将式子更精确地改写为：
$r^A\cdot r^1+b_A+b_1≈5$rA⋅r1+bA​+b1​≈5
其中$b_A$bA​表示A这个人本身有多喜欢买公仔，$b_1$b1​则表示这个动漫角色本身有多让人想要购买，这些内容是跟属性vector无关的，此时loss function被改写为：
$L=\sum\limits_{(i,j)}(r^i\cdot r^j+b_i+b_j-n_{ij})^2$L=(i,j)∑​(ri⋅rj+bi​+bj​−nij​)2
当然你也可以加上一些regularization去对结果做约束

有关Matrix Factorization和推荐系统更多内容的介绍，可以参考paper(公众号回复“推荐系统”获取pdf )：Matrix Factorization Techniques For Recommender Systems

for Topic Analysis

如果把matrix factorization的方法用在topic analysis上，就叫做LSA(Latent semantic analysis)，潜在语义分析

我们只需要把动漫人物换成文章，人换成词汇，表中的值从购买数量换成词频即可，我们可以用词汇的重要性给词频加权，在各种文章中出现次数越多的词汇越不重要，出现次数越少则越重要

这个场景下找出的latent factor可能会是主题(topic)，比如某个词汇或某个文档有多少比例是偏向于财经主题、政治主题…

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