方程组的几何解释

从一个例子讲起：2个方程，2个未知数的方程组
$\left\{ \begin{aligned} 2x-y=0\\ -x+2y=3\\ \end{aligned} \right.${2x−y=0−x+2y=3​
写成矩阵形式为
$\begin{bmatrix}2&-1\\-1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$[2−1​−12​][xy​]=[03​]
第一个矩阵称为系数矩阵A，第二个矩阵称为x，第三个矩阵称为b，这样方程组可写为$Ax=b$Ax=b，一个行图像显示一个方程，可以画出该方程组的行图像：

列图像：
原方程组可写为$x\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$x[2−1​]+y[−12​]=[03​]，该方程是寻找如何将$\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}$[2−1​]和$\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$[−12​]两个向量正确组合，来构成$\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}$[03​]，这就需要找到正确的线性组合。将$\begin{bmatrix}2 \\ -1\end{bmatrix}$[2−1​]记作$col_1$col1​，$\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}$[−12​]记作$col_2$col2​，当x=1,y=2时，等式成立。下面画出列向量：

如果选取所有的x和y，即所有的组合，结果会得到整个二维空间。下面来看三维空间的例子：
$\left\{ \begin{aligned} 2x-y=0\\ -x+2y-z=-1\\ -3y+4z=4 \end{aligned} \right.$⎩⎪⎨⎪⎧​2x−y=0−x+2y−z=−1−3y+4z=4​
在这里$A=\begin{bmatrix}2&-1&0 \\ -1&2&-1\\0&-3&4\end{bmatrix}，b=\begin{bmatrix}0 \\ -1\\4\end{bmatrix}$A=⎣⎡​2−10​−12−3​0−14​⎦⎤​，b=⎣⎡​0−14​⎦⎤​。在三维空间中，每一个方程确定一个平面，而例子中的三个平面会相交于一点，这个点就是方程组的解。将方程组写成列向量的线性组合：
$x\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-1\\2\\3\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}$x⎣⎡​2−10​⎦⎤​+y⎣⎡​−123​⎦⎤​+z⎣⎡​0−14​⎦⎤​=⎣⎡​0−14​⎦⎤​
同样将这三个列向量分别称为$col_1、col_2、col_3$col1​、col2​、col3​，显而易见，当$x=y=0,z=1$x=y=0,z=1时满足该等式。但不是对于所有的右侧向量$b$b都有解，当$col_1、col_2、col_3$col1​、col2​、col3​共面时，只有当$b$b在此平面内时，方程组才有解，否则无解。

最后介绍矩阵形式的$Ax=b$Ax=b，举个例子，取$A=\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}，x=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$A=[21​53​]，x=[12​]，则$Ax=\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=1\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}12\\7\end{bmatrix}$Ax=[21​53​][12​]=1[21​]+2[53​]=[127​]

总之，$A$A右侧乘以一个向量可以看成$A$A的各列的线性组合。