矩阵的相似

1. 定义：若$B=P^{-1}AP$B=P−1AP，则称矩阵A与B相似，记做$A\sim B$A∼B
2. 相似可以推出等价，但等价不一定相似
3. 性质：
   可逆时有$A^{-1}\sim B^{-1}$A−1∼B−1
   $\left|A\right|=\left|B\right|$∣A∣=∣B∣
   $A\sim B\rightarrow f(A) \sim f(B)，f为多项式$A∼B→f(A)∼f(B)，f为多项式
4. 矩阵的特征值和特征向量：$A\alpha=\lambda\alpha$Aα=λα

特征值和特征向量的求法

步骤：
(i) 解$\left|A-\lambda E\right|=0$∣A−λE∣=0，求出$\lambda$λ的值，得到特征值
(ii) 求$(A-\lambda E)=\Omicron$(A−λE)=O 这个齐次线性方程组的基础解系，得到特征向量
假设有k个特征值，则必定有大于等于k个特征向量

特征值和特征向量的性质

1. 不同特征值的特征向量线性无关
2. 相似矩阵有相同的特征值
3. 特征值的公式：（特征值有着非常好的性质）
   
4. 特征值和矩阵的关系公式（韦达公式得到）
   
   特征值之积是行列式的值；特征值之和是矩阵的迹

一般矩阵的相似对角形

1. 能够与对角形相似的等价条件：有n个线性无关的特征向量（有n个线性无关的向量得到了伸缩）
   解释：相似对角形可以解释为某一线性空间的基向量的伸缩，有n个特征向量说明有n个向量伸缩了，把这n个特征向量看成新坐标系的基（也就是把特征向量组合成变换矩阵$P$P），就找到了相似对角形。
2. 判断一个矩阵能否与一个对角形相似？求特征值，再求特征向量，看特征向量的个数。
3. 矩阵相似对角化的步骤：
   (i)求特征值
   (ii)求特征向量
   (iii)把特征向量组合成$P$P，特征值组合成对角阵即可

实对称矩阵特征值和特征向量的性质

1. 实对称矩阵的定义：$A^T=A$AT=A
2. 实对称矩阵的性质：
   特征值都是实数
   不同特征值所对应的特征向量必定正交
   实对称矩阵一定能够相似对角化（一定有n个线性无关的向量得到了伸缩）

实对称矩阵的相似对角化

1. 实对称矩阵不仅一定可以与对角阵相似，还可以与对角阵正交相似
2. 正交相似：存在正交矩阵$Q$Q，使得$B=Q^{-1}AQ$B=Q−1AQ，则B与A正交相似
3. 如何进行实对称矩阵的正交相似对角化？步骤：
   (i)求特征值
   (ii)求特征向量
   (iii)施密特正交化