学数学秋季赛平面几何的解答

题目

　　如图1，平行四边形ABCD中，以AD为直径园与三角形ABC外接圆相交弦AQ交BC于E，AC两点处切线交于P，求证PE垂直BC。
　　

解析解法

　　
　　以三角形ABC外接圆为单位圆，BC为x轴正方向建系。
　　设A(u,v),B(−s,t),C(s,t)则u2+v2=s2+t2=1,D(u+2s,v)
　　
　　先从相交弦角度考虑两圆方程:      三角形ABC外接圆:x2+y2=1      以AD为直径的圆的方程为:(x−u)(x−u−2s)+(y−v)2=0相减得相交弦的方程:(u+s)x+vy=us+1与BC交于点E(xE,t),则xE=us−vt+1u+s
　　
　　再从配极的角度看PA，PC，设P(xP,yP)，容易知道AC方程为xPx+yPy=1       代入A点坐标，得uxp+vyp=1       代入C点坐标，得sxp+typ=1解得xP=t−vut−sv

　　       xP=xE⇔t−vut−sv=ys−vt+1u+s⇔(t−v)(u+s)=(ut−sv)(us−tv+1)⇔ut+st−sv−uv=ut+st(u2+v2)−sv−uv(t2+s2)     显然成立

　　所以xP=xE，即PE垂直BC