让微积分穿梭于工作与学习之间（9）：自己捣鼓定积分的近似值计算，碰到了不会解决的问题

运用牛顿——莱布尼茨公式，可以把定积分的计算转化到原函数的差值当中。也就是说，只要被积函数的原函数能被求出来，并且是一个初等数学函数，那么定积分的计算就会变得相当简单。

然而，这个只要有时不一定能做到。不过我仍然相信，求不出原函数的初等函数，除了几个特定的个案或者无太大实际意义的复杂函数以外，大部分还是能算得出原函数的。

爱钻牛角尖的我，当年就把焦点落在了正态分布的函数中。我们之前高考，和英语四六级都用过标准分。它是根据正态分布的客观规律，按名次分布到正态曲线上从而算出一个所谓的标准分。

在上大学之前，由于大多数同学没学过高等数学，所以名次和标准分的对应关系都直接写到一个表格上供大家查阅。

而在我学习了一元函数微积分之后，我就开始尝试自己写代码去算那些无法用初等函数来算的定积分。

前面说过，定积分的定义是分割+近似求和+取极限。对于不复杂的函数，选取合适的分割方式，有希望以通项公式的形式表示近似求和的结果，然后算得极限值。比如连载5中的1/x定积分。但大多数函数都很难这样子做，所以我就拿了最简单粗暴的方式，不管三七二十一，直接按x等分，然后在代码中来一个for循环完事。

我们用的教材很坑，连定积分的近似计算都懒得一提，所以我除了用矩形条面积相加就没别的方法了，后面觉得矩形精度太低而改成直角梯形。而别的教材则在这个地方有所提及，并给出了抛物线法，即用抛物线弧模拟函数曲线进行计算。

我一开始是不知道的，所以只会用矩形和梯形，然后遇到的问题可想而知。就是精确度很低，所以我只能尝试增加分割的份数来去逼近，但仍跟正态分布积分表给出的结果之间存在较大误差。更坑的是，有的区间只需要分割很少的份数就能获得一个很精确的结果，而有的区间分割到1000份都未必能达到精确度的要求。性能被浪费了，但问题却还得不到解决。

正态分布函数的曲线大概是长这个样子的：

求不同区间的定积分（面积），哪怕长度相等，分割的份数要求都差别较大。比如下图的蓝色部分，我分3份就基本上能算出跟准确值比较接近的结果了。但是红色部分，拆成6份的误差都还是比蓝色部分要大得多。

其实这个玩意儿是要做误差估计，但那时候我是没懂这些东西的。而解决这一问题的方法，已经被汇总到一个叫数值积分的学科里面。要把它玩转还真的不容易。

当然了，后面看了别的教材，知道了抛物线法之后，就发现还是能凑合着用了。教材上给出的用1/(1+x^4)求pi的近似值的例子，抛物线法只要分割10份，就能精确到小数点第6位，对于实际开发来讲，大多数情况下已经够用。

就这样，我开始发现自己还真牛逼不到哪里去，就这种事情都已经无法驾驭了，更难的怎么办？

不过我还是觉得，实际中无法求出原函数的初等数学函数为数不多。把原函数求出来，就不用面对这样的问题了。

然而，无法求出原函数的初等数学函数很多很多。但是那时候自己的见识还是过于浅薄，所以就有一段时间没去深入了。在这个探索过程中，我了解到了Mathemetica（跟著名的Matlab是相似的软件），用那个求定积分近似值非常方便。美中不足的地方是我没办法了解到底层，无法用高级编程语言将其实现。

再到后面，工作中真的用到了（虽然不是我，是一个网友），我当时还自以为牛逼地去给他研究，结果以失败告终。下一篇，我会把这个事情分享给大家！