让微积分穿梭于工作与学习之间（6）：我自认为牛逼的成果之二：发现了教材上的一个错误

能找出知名大学出版社中的教材错误，我个人觉得多少有点牛逼，虽然在大多数人眼里，这是一个不必在意的细节。但既然找出来了，也已经被验证出有不严谨的地方，那我还是会给大家展示出来。

在理论验证的时候，教材其实都非常严谨。就是关于不定积分（不懂这个概念的可以自行百度）的一个性质：一个函数的任意两个原函数之间都相差一个常数。光这么说是不够的，因为相差一个常数的结论，是建立在导数恒为0的函数为常数函数这一定理基础上的，而该定理又规定了成立的条件是在一个连续的区间内。所以，如果函数存在间断点，那么这个函数在不同连续区间中相减所得的结果就未必是一个常数了，稍候我会给出例子。

一般上了档次的教材在这个地方都会去严抓，而不容易被读者发现漏洞。

然后在介绍完不定积分定义之后，教材都喜欢来一道例题。模板如下：

已知某曲线任意一点的切线斜率都恰好等于横坐标的XX，且曲线经过点(x0, y0)，试求曲线的方程。

不同的教材会给上述模板中的蓝字部分填上自己喜欢的内容。

比如XX写两倍，x0写1，y0写3：

已知某曲线任意一点的切线斜率都恰好等于横坐标的两倍，且曲线经过点(1, 3)，试求曲线的方程。

然后先求出原函数，得到

再把(1,3)点代入到以下方程

求得C=1

这样，最终的方程就是

类似的例题还有

已知某曲线任意一点的切线斜率都恰好等于横坐标的余弦，且曲线经过点(0, 1)，试求曲线的方程。

结果为

又如

已知某曲线任意一点的切线斜率都恰好等于横坐标的倒数，且曲线经过点(e, 2)，试求曲线的方程。

然后结果是

这个地方就出问题了。因为ln|x|在其定义的区间内并不连续，它在x=0处有一个间断点，两段曲线之间并无任何约束，经过(e, 2)没有对x<0的区间造成任何限制。

请看下图。两段曲线可以各自上下移动，这个过程所生成的任何方程都满足题目给定的第一个条件。

然后第二个条件，曲线通过点(e,2)仅仅约束了右侧的曲线，而左侧曲线仍然完全不受阻。

因此ln|x|+1不是该题的唯一答案，比如ln|x|+sgnx也满足题目的两个条件。

sgnx是这样的一个函数。

ln|x|+sgnx的图像如下：

它任意一点上切线的斜率都等于横坐标的倒数，且也经过点(e,2)。

可能有人会说，这个不是初等数学函数，就别算了吧，但事实上，去掉x=0（反正题目的函数在x=0处就无定义），它就是个初等数学函数了。

所以说，这道例题有不严谨的地方。但是几乎没人去追究，毕竟只是个套路，说清楚问题就行了，除非是出题者有意刁难学生。否则y=ln|x|+1就是标准答案。

这就说明了，相差一个常数只在一个连续区间内有效，否则像这道题，ln|x|和ln|x|+sgnx的差值sgnx就不是一个常数，它仅在各自的连续区间相差一个常数，在x<0处相差常数-1，在x>0出相差常数1。

因此基本积分表中的

中的C是不正确的，这个问题在各个教材中都存在。我曾经发过一封邮件给某家出版社，但那个编辑认为这不能算是错误，C只是个记号，为的是方便书写。

想想这也是的，遇上那种间断点很多的，比如

这样的有无数个间断点，怎么表示都不对，所以我也没追究了。毕竟这个编辑的教材没拿lnx出例题。然而可惜的是我至今仍联系不到出lnx的那个编辑，所以这个事情就不了了之了。

可能有的朋友会觉得我很局限，怎么两篇都是拿lnx说事，不能有点新意么？嗯，这是客观原因所致。自然对数函数在高等数学中非常常用，微分方程，复变函数，欧拉公式等等，都会经常用到这一函数，问题自然也会更容易被发现。

不过下一篇我就不拿lnx说事了，而是改到反三角函数的领域上，给大家看看我如何用蛋疼的方式用定义直接求得它们的导数，敬请期待！