问题描述

甲乙两人对弈，单局甲获胜的概率为23，乙为13，现按照此规则对弈：任何一方获胜次数比对手多n次，则获胜，如果一直未能满足这个条件，则一直对弈下去，求甲获胜的概率。

n==1时

一局定输赢，甲获胜的概率为23。

n==2时

首先想明白以下3点：
- 单数局不可能决出胜负，如果决出胜负，一定是偶数局；
- 如果偶数局没有决出胜负，则甲乙获胜的次数一定是相等的；
那么：
- 1局结束的概率：0
- 2局结束的概率：(23)2=49
- 3局结束的概率：0
- 4局结束的概率：(1−(23)2−(13)2)×(23)2=49×49=(49)2
- 5局结束的概率：0
- 6局结束的概率：(49)3
以此类推，则甲n局获胜的概率为：

则甲获胜的总概率为

n==3时

****没办法画二叉树呀，看图。

左分支表示甲赢一局，右分支表示甲输一局，每个节点是一个状态，节点上的符号含义为：
- P0表示甲在获胜局数跟乙相同的状态下获胜的条件概率；
- P1表示甲在获胜局数比乙大1的状态下获胜的条件概率；
- P−1表示甲在获胜局数比乙小1的状态下获胜的条件概率；
那么有：

3个式子3个未知数，解出来：

P0即为甲获胜的概率。

n>3时

以上方法应该是通用的；
有兴趣的可以求解一下通项哦。