数学"命题"初步以及三角函数相关复习

一，什么叫做命题？

可以判断真假的陈述句叫做命题。
必须满足两个条件：1)陈述句，2)能判断真假
真命题：结论为真
假命题：结论为真
命题的否定：只否定结论

原命题：若p,则q
逆命题：若q,则p
否命题：若-p,则-q
逆否命题：若-q,则-p
（若p则q形式的命题，也是一种复合命题，其中的p与q，可以是命题，也可以是开语句，开语句：含有变量，无法确定真假的语句）

充分条件和必要条件
若p=>q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

重要结论：
互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与逆否命题等价。否命题与逆命题等价。
命题的否定不是否命题。命题的否定只否定结论，其他不变。

二，命题的基本概念以及四种命题的相互关系

例1、 证明：若 $p^2＋q^2 ＝2，则p＋q ≤2。$
分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑将其转化为对它的逆否命题的证明。
将 $“若p^2＋q^2 ＝2，则p＋q ≤2”$ 视为原命题，
$p: p^2＋q^2 ＝2$
$q: p+q ≤2$

分析：逆否命题：若﹁q，则﹁p
$"若p+q>2，则 p^2+q^2 != 2"$ ，证明这个逆否命题即可。

$p^2+q^2=\frac{(p+q)^2+(p-q)^2}{2} >\frac{(p+q)^2}{2}$ (1)
因为﹁q： (p+q)>2
(1) 式
$p^2+q^2=\frac{(p+q)^2+(p-q)^2}{2} >\frac{(2)^2}{2}$ = 2 (2)

因此， $p^2+q^2 >2$
$p^2+q^2 ！=2$
逆否命题成立，逆否命题等价于原命题。所以原命题成立。

原命题：若 $p^2＋q^2 ＝2，则p＋q ≤2。$

例2、 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假。
（1）函数 $y=x^2-3x+2$ 有两个零点；
（2）若a>b，则a+c>b+c；
（3）若 $x^2+y^2=0，则x,y全为0$ 。

解析：（1）若函数 $y=x^2-3x+2$ ，那么这个函数有两个零点。
逆命题：若一个函数有两个零点，那么这个函数为 $y=x^2-3x+2$ 。假命题
否命题：若函数不是 $y=x^2-3x+2$ ，那么这个函数没有两个零点。假命题
逆否命题：若一个函数没有两个零点，则这个函数不是 $y=x^2-3x+2$ 。真命题

（2）直接根据命题的定义写出即可。注意到“大于”的否定是“小于等于”即可。4个命题都真
（3）同理可以写出，注意到“全”的否定为“不全”，等于的否定为“不等于”。4个命题都真。
总结：
会判定命题的真假，并能把命题改写为“若……则……”的形式。同时能体会互为逆否命题的两个命题真值相同的运用。

三，充分条件和必要条件的判定和运用

例3、 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？q是p的必要条件？

（1）若x＝1，则x2－4x＋3＝0；
（2）若f（x）＝x，则f（x）为增函数；
（3）若x为无理数，则x2为无理数。

分析：定义若 p=>q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
若 q=>p，则p是q的必要条件，q是p的充分条件

解析：命题（1）（2）由条件都能推出结论，因此满足p是q的充分条件的要求，且q是p的必要条件。
命题（3）
p: x为无理数
q: x2为无理数
p不能推出q，反例：根号2是无理数，根号2的平方=2，是有理数（1）
分析：q能推出p吗？
假设：q=>p
用逆否命题反证法：
﹁q: x2为有理数
﹁p: x为有理数
q=>p 的逆否命题：
﹁p=>﹁q
如果 x为有理数，则 x2为有理数
成立
﹁p=>﹁q成立
所以
q=>p成立 (2)
所以q是p的充分条件，p是q的必要条件

例4、 从“=>”、“=/>”与“<=>”中选出适当的符号填空：
（1） x>-1 ___ x>1 ；
（2） a>b ___ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ；
（3） $a^2-2ab+b^2=0$ ____ a=b ；
（4） A $\subseteq$ Φ ____ A=Φ 。

解析：第（1）小题，填=/>。
第（2）小题，如果a或者b中任意一个是0，0不能被当做分母，所以不成立。或者如果a是正数或者0，b是负数，不成立，如0＞－1，故填=/>。

第（3）小题，a=b是唯一解，填 <=>。
第（4）小题，说明集合A是空集的子集，空集只有一个子集，就是自己。故填=>

例5、 指出下列各组命题中，是的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）

（1）在 $\triangle ABC中$ ，p: A>B，q: sinA > sinB
（2）对于实数x，y，p:x+y!=8 , q: x!=2 或 y!=6
（3）在 $\triangle ABC中$ ，p: sinA > sinB， q: tanA > tanB
（4）已知x,y∈R， $p: (x-1)^2+(y-2)^2=0， q:(x-1)(y-2)=0$

分析：若p=>q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。

解析：（1）
在 $\triangle ABC中$ ，p: A>B，q: sinA > sinB
三角形三角之和 A+B+C<=π,180度，

由正弦函数的图像，可知
1>sinA>0,1>sinB>0,1>sinC>0
由A>B，得a>b，（大角对大边） (1)
有正弦定理知道：

$\frac{sinA}{a} = \frac{sinB}{b}$
因(1): a>b，得sinA>sinB (2)
即 p=>q

同理，可证，由sinA>sinB，可得 a>b
即 q=>p
所以， $p:a>b 是q:sinA>sinB$ 的充要条件。

（2）对于实数x，y，P:x+y!=8 , q: x!=2 或 y!=6
证明p=>q 不是很方便，用逆否命题来证明
　　
试证明﹁q=>﹁p
﹁q: x=2&&y=6
﹁p: x+y=8
显而易见，x=2&&y=6 导出 x+y=8
即﹁q=>﹁p，等同于 p=>q (1)
　
　能否证明q=>p呢？
逆否命题﹁p=>﹁q
x+y=8 ，不一定能导出 x=2&&y=6，例如可以取x=1&&y=7 (2)

综合(1)和(2) p是q的充分条件，但不是必要条件。
q是p的必要条件，但不是充分条件.

（3）在 $\triangle ABC$ 中，p: sinA > sinB， q: tanA > tanB

查看附录 $\triangle ABC$ ，sin 和 tan 函数的图像，由于是三角形，角度在0到180度（0到 $\pi$ ）。

数学"命题"初步以及三角函数相关复习
x的实际取值范围为（0到 $\pi$ ）

x的实际取值范围为（0到 $\pi$ ）

可见，在 $\frac{π}{2}$ ,即90度的左边(0到 $\frac{π}{2}$ )，tan为正数。在 $\frac{π}{2}$ 的右边( $\frac{π}{2}$ 到π), tan为负数。
而sin在0到π 一直都是正数，即>0
所以，不能由 sinA > sinB 推出 tanA > tanB
p=!>q

再看看q=>p，同理，也不成立。
所以，在三角形ABC中，p: sinA > sinB， q: tanA > tanB
p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件。

（4）已知 $x,y∈R，p: (x-1)^2+(y-2)^2=0， q:(x-1)(y-2)=0$

现有 $p:(x-1)^2+(y-2)^2=0$
所以 $(x-1)^2 和 (y-2)^2$ 只能都取0等式才能成立。
得出，x=1,y=2
得出，(x-1)(y-2) =0

所以 $p:(x-1)^2+(y-2)^2=0 是q:(x-1)(y-2)=0 的充分条件，q是p的必要条件$ 。

再证明，是否有 q=>p?
q: (x-1)(y-2) = 0
x=1或者y=2
不能导出 $p: (x-1)^2+(y-2)^2 =0$

因为 p={ (1,2) },
q={ (x,y) |x=1或者y=2 }
p=>q
但是q=!>p

综上，p是q的充分条件，但不是必要条件

小结：如果有原命题直接证明方便，可以利用逆否命题来证明，逆否命题等价于原命题

例6、 判断方程组 $\left\{\begin{matrix} α+β & >4 & \\ α*β & >4 & \end{matrix}\right.$ 是 $\left\{\begin{matrix} α & >2 & \\ β & >2 & \end{matrix}\right.$ 的什么条件？并说明理由。