线性代数的本质 - 08 - 以线性变换的眼光看叉积

线性变换的眼光看叉积

我们在计算向量v⃗ ,w⃗ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$的叉积p⃗ $\overrightarrow{p}$时，通常如此：

并且被告知p⃗ $\overrightarrow{p}$具有如下三个几何性质：

• 长度等于v⃗ ,w⃗ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$张成的平行四边形的面积
• 方向与v⃗ ,w⃗ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$垂直
• 符合右手定则

尝试用线性变换的眼光看待叉积，大体步骤如下：

1. 根据 v⃗ $\overrightarrow{v}$ 和 w⃗ $\overrightarrow{w}$ 定义一个三维到一维的线性变换
2. 找到它的对偶向量
3. 说明这个对偶向量就是 v⃗ ×w⃗ $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{w}$

一切都始于这个函数:

，其中矩阵第二列和第三列分别是向量 v⃗ $\overrightarrow{v}$ 和 w⃗ $\overrightarrow{w}$

我们定义了一个从三维空间到数轴的函数，输入向量⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$,然后通过矩阵的行列式得到一个数。由行列式的几何意义，我们知道这个函数右边算出来的是由三个向量张成的平行六面体的体积，由取向确定符号。

这个函数的一个至关重要的性质是：它是线性的。

一旦知道它是线性的，我们就可以引入对偶性的思想了。

既然是线性，那就可以通过矩阵乘法来描述这个函数

[p1p2p3]⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥=det⎛⎝⎜⎡⎣⎢xyzv1v2v3w1w2w3⎤⎦⎥⎞⎠⎟$\left[\begin{array}{ccc}{p}_1& p_2& p_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=det\left(\left[\begin{array}{ccc}x& v_1& w_1\\ y& v_2& w_2\\ z& v_3& w_3\end{array}\right]\right)$，必然会存在一个1×3$1\times 3$的矩阵代表这个线性变换。

而对偶性的特别之处在于，对于多维空间到一维空间的变换，可以把这个矩阵竖起来写，并将整个变换看作与这个特定向量的点积。我们要找的就是这个特殊的三维向量，称为 p⃗ $\overrightarrow{p}$.

⎡⎣⎢p1p2p3⎤⎦⎥⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥=det⎛⎝⎜⎡⎣⎢xyzv1v2v3w1w2w3⎤⎦⎥⎞⎠⎟$\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=det\left(\left[\begin{array}{ccc}x& v_1& w_1\\ y& v_2& w_2\\ z& v_3& w_3\end{array}\right]\right)$

使得 p⃗ $\overrightarrow{p}$ 与其它任一向量 [xyz]$\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]$ 的点积等于一个3×3$3\times 3$矩阵的行列式，这个矩阵的第一列是 [xyz]$\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]$，后两列是向量v⃗ $\overrightarrow{v}$ 和 w⃗ $\overrightarrow{w}$ 的坐标。

至此，我们就可以求出 p⃗ $\overrightarrow{p}$ 了，等号两边都展开，左边 = p1⋅x+p2⋅y+p3⋅z$p_1\cdot x+p_2\cdot y+p_3\cdot z$, 右边 = x(v2w3−v3w2)+y(v3w1−v1w3)+z(v1w2−v2w1)$x(v_2{w}_3-v_3{w}_2)+y(v_3{w}_1-v_1{w}_3)+z(v_1{w}_2-v_2{w}_1)$，所以可得到p1=v2w3−v3w2,p2=v3w1−v1w3,p3=v1w2−v2w1$p_1=v_2{w}_3-v_3{w}_2,p_2=v_3{w}_1-v_1{w}_3,p_3=v_1{w}_2-v_2{w}_1$.

接下来思考，什么样的向量 p⃗ $\overrightarrow{p}$ 满足上面的方程呢？与 [xyz]$\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]$ 的点积等于 [xyz]$\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]$ 和 v⃗ ,w⃗ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ 三个向量张成的平行六面体的体积。

先说等号左边，左边的点积我们可以看作是 [xyz]$\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]$ 在 p⃗ $\overrightarrow{p}$ 上的投影与 p⃗ $\overrightarrow{p}$ 的长度相乘。

等号右边是 [xyz]$\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]$ 和 v⃗ ,w⃗ $\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ 三个向量张成的平行六面体的体积，这个体积我们可以这么算：v⃗ $\overrightarrow{v}$ 和 w⃗ $\overrightarrow{w}$ 看作底面，得到底面积，再乘上 [xyz]$\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]$ 在垂直底面方向上的分量长度。

换句话说，我们找到的线性函数对于向量的作用，是将这个向量投影到垂直于 v⃗ $\overrightarrow{v}$ 和 w⃗ $\overrightarrow{w}$ 的直线上，然后将投影长度与 v⃗ $\overrightarrow{v}$ 和 w⃗ $\overrightarrow{w}$ 张成的平行四边形面积相乘。但是，这和垂直于 v⃗ $\overrightarrow{v}$ 和 w⃗ $\overrightarrow{w}$ 且长度为平行四边形的面积的向量与 [xyz]$\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]$ 做点积是同一回事。

这就意味着我们找到了这个向量 p⃗ $\overrightarrow{p}$.