数学归纳法证明哥猜成立

崔坤

（即墨市瑞达包装辅料厂，山东青岛即墨，266200）

 

摘要:通过真值方程r2(N)=C(N)+2π(N)-N/2的数值数学分析可得r2(N)≥1
 

关键词：哥德巴赫猜想；奇素数；奇合数；双记法；数学归纳法

中图分类号：0156.1初等数论

Proof of Goldbach conjecture by mathematical induction

Abstract:

Through the numerical analysis of the truth equation

 r2(N) =C(N)+2π(N)-N/2,    r2 (N) ≥ 1 can be obtained

Key words: Goldbach conjecture; odd prime number; odd sum number; double notation; mathematical induction

 

哥德巴赫的手稿明确了1是素数的概念，也是哥德巴赫猜想的初衷。

根据素数的定义，1的确属于广义的素数。

哥猜命题中的素数，是指大于1的奇素数，是狭义素数。

狭义素数的哥猜命题成立，广义素数的哥猜命题自然成立。

王元在《谈谈素数》里这样解释：

哥德巴赫（C.Goldbach）问题是1742年他写信给欧拉时提出来的。

在信中，他提出了将整数表示为素数之和的猜想。

这个猜想可以用略为修改了的语言叙述为：

(A):每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和。

(B):每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。

显然，命题（B）是命题(A)的推论。

1为素数，在双记法下：
分析每个大于等于4的偶数N中的奇数对个数：
N=2n中共有n个不相同的奇数，共有n个不相同的奇数对。
奇数对分类与N相关的有四种：
[1]（奇素数，奇素数），简称：1+1，令有r2(N)个, r2(N)又称哥猜表法数
[2]（奇合数，奇合数），简称：C+C,令有C(N)个
[3]（奇素数，奇合数），简称：1+C,令有M(N)个
[4]（奇合数，奇素数），简称：C+1,令有W(N)个
根据其对称性则有：M(N)=W(N)
设N=2n中共有π(N)个不相同的奇素数，则：
r2(N)+C(N)+W(N)+M(N)=n…〈1〉
M(N)= π(N)- r2(N)…〈2〉
M(N)=W(N)…〈3〉
有上述〈1〉、〈2〉、〈3〉式得：r2(N)=C(N)+2π(N)-n
其中，r2(N)、C(N)均为自然数，π(N)、n均为非零自然数。
偶数表法数公式：
r2(N)=C(N)+2π(N)-N/2

经过实际验证，存在r2(N)> r2(N+2)，这说明偶数N的一次幂不是增函数。

那么是否存在N^x,自然数x≥1的r2(N^x)是增函数？

r2(N^x)=C(N^x)+2π(N^x)-N^x/2

N^x=2 C(N^x)+4π(N^x)-2 r2(N^x)

运用数学归纳法给出证明：r2(N^x)是增函数

(1):N=4，x=1时，r2(4)=2 ≥1

哥猜成立

(2)：假设r2(N^x) ≥1,那么当x+1时，则有：

令f(x)=N^（x+1）=2 C(N^（x+1）)+4π(N^（x+1）)-2 r2(N^（x+1）)

g(x)=N*N^x=N[2 C(N^x)+4π(N^x)-2 r2(N^x)]

显然：f(x)= g(x)

2 C(N^（x+1）)+4π(N^（x+1）)-2 r2(N^（x+1）)= N[2 C(N^x)+4π(N^x)-2 r2(N^x)]

根据：

若y=f(x)与y=g(x)是相等函数，
则两个函数的解析式相同，
于是其中的参数都能对应相等。

由于f(x)、g(x)是复合函数，那么有：

2 C(N^（x+1）)接近于N*2 C(N^x)

4π(N^（x+1）) 接近于N*4π(N^x)

2 r2(N^（x+1）接近于N*2 r2(N^x)

从而：r2(N^（x+1）接近于N* r2(N^x)

即：r2(N^（x+1）> r2(N^x)>1

综合（1）（2），关于任何非0自然数x的函数r2(N^x)=C(N^x)+2π(N^x)-N^x/2是增函数。

即对于任何大于等于6的偶数都是2个奇素数之和。

即（A）命题成立

有（A）命题可知：N=P1+P2，P1、P2都是奇素数，

N+3=P1+P2+3≥9，

即：命题（B）成立

结论：哥德巴赫猜想成立

参考文献：
[1]华罗庚《数论导引》，科学出版社1957-07
[2]王元《谈谈素数》，哈尔滨工业大学出版社，2011-2
致谢：

本文作者感谢所有关心我的人们，
感谢所有善良的人，
感谢所有给这个世界带来美好及和谐的人
衷心祝愿人们生活美好！

作者简介：崔坤（1963-），男，汉族，山东青岛即墨人，

即墨市瑞达包装辅料厂董事长

从事哥德巴赫猜想研究36年（1984年春天开始）

崔坤的电话及微信：13396392325

通讯地址：山东省青岛市即墨区鳌蓝路838号

邮编：266200

第一作者：崔坤（1963-），籍贯：山东青岛即墨，职业：印刷企业董事长，

研究方向：数论。 电子邮箱：[email protected]

通信作者：崔坤（1963-），籍贯：山东青岛即墨，职业：印刷企业董事长，

研究方向：数论。 电子邮箱：[email protected]

部分大数据验证：

r2(6^2)/r2(6)=8/1=8>1
r2(6^3)/r2(6^2)=24/8=3>1
r2(6^4)/r2(6^3)=98/24≈4>1
r2(6^5)/r2(6^4)=322/98≈3>1
r2(6^6)/r2(6^5)=1312/322≈4>1
r2(6^7)/r2(6^6)=5502/1312≈4.1>1
r2(6^8)/r2(6^7)=25010/5502≈4.5>1
r2(6^9)/r2(6^8)=116964/25010≈4.6>1
r2(6^10)/r2(6^9)=560696/116964≈4.7>1
r2(6^11)/r2(6^10)=2749126/560696≈4.9>1
r2(6^12)/r2(6^11)=13729618/2749126≈5.0>1
这些数据来自D先生提供的，如果那位先生能够继续提供，
我的理论将得到更加准确的验证：
当6^n中n充分大时：r2(6^n)接近于6*r2(6^（n-1))

r2(8^2)/r2()=10/2=5>1
r2(8^3)/r2(8^2)=22/10=2.2>1
r2(8^4)/r2(8^3)=106*22≈4.8>1
r2(8^5)/r2(8^4)=488/106≈4.6>1
r2(8^6)/r2(8^5)=2628/488≈5.3>1
r2(8^7)/r2(8^6)=14942/2628≈5.6>1
r2(8^8)/r2(8^7)=91492/14942≈6.1>1
r2(8^9)/r2(8^8)=567492/91492≈6.2>1
r2(8^10)/r2(8^9)=36344222/567492≈6.4>1
r2(8^11)/r2(8^10)=23783308/3634222≈6.5>1
r2(8^12)/r2(8^11)=158575328/23783308≈6.6>1
这些数据来自D先生提供的，如果那位先生能够继续提供，
我的理论将得到更加准确的验证：
当8^n中n充分大时：r2(8^n)接近于8*r2(8^（n-1))

r2(10^2)/r2(10)=12/3=4>1
r2(10^3)/r2(10^2)=56/12≈ 4.6>1
r2(10^4)/r2(10^3)=254/56≈ 4.5>1
r2(10^5)/r2(10^4)=1620/254≈6.3>1
r2(10^6)/r2(10^5)=10804/1620≈6.6>1
r2(10^7)/r2(10^6)=77614/10804≈7.1>1
r2(10^8)/r2(10^7)=582800/77614≈7.5>1
r2(10^9)/r2(10^8)=4548410/582800≈7.8>1
r2(10^10)/r2(10^9)=36400976/4548410≈8.0>1
r2(10^11)/r2(10^10)=298182320/36400976≈8.1>1
r2(10^12)/r2(10^11)=2487444740/298182320≈8.3>1
这些数据来自D先生提供的，如果那位先生能够继续提供，
我的理论将得到更加准确的验证：
当10^n中n充分大时：r2(10^n)接近于10*r2(10^（n-1)）