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介绍

计算机科学发展至今，已经出现了若干种平衡二叉查找树，其中最先发明的是 AVL 树。
所有平衡树基本由以下三个特征组成：
1.自平衡条件
2.旋转操作
3.旋转的触发
平衡树通过设置合理的自平衡条件，使得二叉排序树的查找、插入等操作的性能不至于退化到 O(n)O(n)，并且在进行二叉排序树的查找、插入等操作时进行判断，如果满足其中某个旋转的触发条件，则进行对应的旋转操作。

一、自平衡条件

AVL 树提出了一个概念：平衡因子（balance factor）。每个结点的平衡因子是指它左子树最大高度和右子树最大高度的差。在 AVL 树中，平衡因子为 -1−1、00、11 的结点都被认为是平衡的，而平衡因子为 -2−2、22 等其他值的结点被认为是不平衡的，需要对这个结点所在子树进行调整

对结点 4 来说，平衡因子为 |height（left） - height（right）|=|3-1|=2>1，所以不平衡

二、旋转操作

在 AVL 树中，一共有两种单旋操作：左旋和右旋。AVL 树通过一系列左旋和右旋操作，将不平衡的树调整为平衡树。

左旋操作的演示如下：

通过进行左旋操作，使得原先的根 4变成了其左孩子2的右孩子，而 2 原先的左孩子 3变成了 4 的左孩子。

对应的，右旋操作的演示如下：

通过右旋操作，使得原先的根 5变成了其左孩子 3 的右孩子，而 3 原先的右孩子变成了 5 的左孩子。

多旋

AVL 树中还有两种复合旋转操作（即“多旋”），由两次单旋操作组合而成

第一种是左旋加右旋：

第二种是右旋加左旋：

三、旋转的触发

插入操作

在插入一个元素后不断回溯的过程中，如果因此导致结点不平衡，则根据不平衡情况（一定是一边子树比另一边子树的高度大 2）进行对应的旋转：

1.左子树比右子树的高度大 2：

如果新增元素插入到左儿子的左子树中，则进行右旋操作。(LL 型调整)
如果新增元素插入到左儿子的右子树中，则进行左旋加右旋操作。（LR 型调整）

2.右子树比左子树的高度大 2：

如果新增元素插入到右儿子的右子树中，则进行左旋操作。（RR 型调整）
如果新增元素插入到右儿子的左子树中，则进行右旋加左旋操作。（RL 型调整）

删除操作

类似的，在删除一个元素后不断回溯的过程中，如果因此导致结点不平衡，则和插入操作采用相同的调整操作，确保在删除以后整棵树依然是平衡的。