A 子空间定义

<1> 定义1（子空间）：设$V$V是数域$F$F上的线性空间，$W$W是$V$V的子集，若对$W$W中的任意元素$\alpha$α,$\beta$β,及数$k\in F$k∈F,按$V$V中的加法和数乘有：$1)\alpha+\beta\in W$1)α+β∈W$2)k\alpha\in W$2)kα∈W则$W$W也是数域$F$F上的线性空间，称$W$W为$V$V的线性子空间，简称子空间

注：

• 由单个零元素组成的子集$\{0\}${0}是线性子空间；
• 线性空间$V$V是线性子空间。
  $0$0与$V$V是称为$V$V的平凡子空间。
• dim{0}=1

B 常见的子空间

<1> 设$A$A是一给定的$m * n$m∗n实矩阵，记$N(A)\triangleq\{x\in \mathbb{R}^n| Ax=0\}$N(A)≜{x∈Rn∣Ax=0}$R(A) \triangleq\{Ax|x\in\mathbb{R}^n\}$R(A)≜{Ax∣x∈Rn}则称$N(A)$N(A)是$\mathbb{R}^n$Rn的子空间，称为$A$A的零空间。
则$R(A)$R(A)是$\mathbb{R}^n$Rn的子空间，称为A的列空间。$dimN(A)=n-rankA=n-r$dimN(A)=n−rankA=n−r$Ax=0$Ax=0基础解析的个数等于$n-r$n−r
$dimR(A)= rankA=r$dimR(A)=rankA=r$AX这个向量，可以看成A每一列的线性组合，所以A所有列的极大线性无关组就可以构成R(A)的基$AX这个向量，可以看成A每一列的线性组合，所以A所有列的极大线性无关组就可以构成R(A)的基。

<2> 设$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}${α1​,α2​,...,αr​}是线性空间$V$V的一向量组，记$span\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}=\{\alpha=\sum_{i=1}^rk_i\alpha_i|k_1,k_2,...,k_r\in F\}$span{α1​,α2​,...,αr​}={α=i=1∑r​ki​αi​∣k1​,k2​,...,kr​∈F}则$span\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}$span{α1​,α2​,...,αr​}是$V$V的子空间，称为由$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}${α1​,α2​,...,αr​}张成的子空间。
即把$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}${α1​,α2​,...,αr​}所有的线性组合形成的向量放在一起，形成的集合。解决了抽象线性空间中子集(即子空间)的描述。

注：

• 若$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}${α1​,α2​,...,αm​}是子空间$W$W的基，则有$W=span\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\}$W=span{α1​,α2​,...,αm​}
• 设$A\in \mathbb{R}^{m\times n}$A∈Rm×n,记$A=[A_1,A-2,...,A_n]$A=[A1​,A−2,...,An​],其中$A_i\in \mathbb{R}^m,i=1,2,...,n$Ai​∈Rm,i=1,2,...,n.则有$R(A)=\{Ax|x\in\mathbb{R}^n\}=span\{A_1,A_2,...,A_n\}$R(A)={Ax∣x∈Rn}=span{A1​,A2​,...,An​}

<3>例题：

C 基扩张定理

<1>定理1 设4$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}${α1​,α2​,...,αr​}是$V^n$Vn中一组线性无关向量，则存在$V^n$Vn中$n-r$n−r个向量$\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},...,\alpha{n}$αr+1​,αr+2​,...,αn,使得$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},...,\alpha_n\}${α1​,α2​,...,αr​,αr+1​,αr+2​,...,αn​}构成$V^n$Vn的基。

D 和空间与交空间

<1>设$W_1$W1​和$W_2$W2​均是线性空间$V^n$Vn的子空间

• $W_1\bigcup W_2$W1​⋃W2​不是线性空间$V^n$Vn的子空间。
  

由定义1，对加法不封闭。

• $W_1\bigcap W_2$W1​⋂W2​是仍然是线性空间$V^n$Vn的子空间。
  

<2>定义2（和空间和交空间）：设$W_1$W1​与$W_2$W2​是线性空间$V$V的两个子空间，令$W_1\bigcap W_2=\{\alpha \in V | \alpha\in W_1且 \alpha\in W_2\}$W1​⋂W2​={α∈V∣α∈W1​且α∈W2​} $W_1+W_2=\{\alpha\in V| \alpha=\alpha_1+\alpha_2, \alpha_1\in W_1,\alpha_2\in W_2\}$W1​+W2​={α∈V∣α=α1​+α2​,α1​∈W1​,α2​∈W2​}
称$W_1\bigcap W_2$W1​⋂W2​为$W_1$W1​与$W_2$W2​的交空间。
称$W_1+W_2$W1​+W2​为$W_1$W1​与$W_2$W2​的和空间。

注：

• $W_1+W_2是V的子空间$W1​+W2​是V的子空间；
• 设$W_1=span\{\alpha_1,...,\alpha_r,\beta_1,...,\beta_m\}$W1​=span{α1​,...,αr​,β1​,...,βm​}

<3> 定理2（维数公式)设$W_1$W1​与$W_2$W2​是线性空间$V$V的两个子空间，则有：$dim(W_1+W_2)+dim(W_1\bigcap W_2) =dim(W_1)+dim(W_2)$dim(W1​+W2​)+dim(W1​⋂W2​)=dim(W1​)+dim(W2​)

例题：
修改：$[-5,2,3,7]>>[-5,2,3,4]^T$[−5,2,3,7]>>[−5,2,3,4]T

和空间$W_1+W_2$W1​+W2​中的向量一定可以分解成两个向量之和，其中一个向量属于$W_1$W1​,另一个输入$W_2$W2​,即$\forall\xi\in W_1+W_2,\exists \alpha_1\in W_1，\alpha_2\in W_1$∀ξ∈W1​+W2​,∃α1​∈W1​，α2​∈W1​$s.t. \xi=\alpha_1+\alpha_2$s.t.ξ=α1​+α2​

例子：

E 直和

<1> 定义3（直和）设$W_1+W_2$W1​+W2​中的任一向量只能唯一地分解为$W_1$W1​中的一个向量与$W_2$W2​中的一个向量之和，则称$W_1+W_2$W1​+W2​为$W_1$W1​与$W_2$W2​的直和，记为：$W_1\oplus W_2$W1​⊕W2​.

<2>定理3（直和等价条件）：

• 1)$W_1+W_2=W_1\oplus W_2$W1​+W2​=W1​⊕W2​
• 2)$W_1\bigcap W_2=\{0\}$W1​⋂W2​={0}
• 3)$dim(W_1+W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)$dim(W1​+W2​)=dim(W1​)+dim(W2​)
• 4)$0=\alpha_1 + \alpha_2,\alpha_1\in W_1,\alpha_2\in W_2,则有\alpha_1=0,\alpha_2=0$0=α1​+α2​,α1​∈W1​,α2​∈W2​,则有α1​=0,α2​=0.
  

例题：

总结：子空间本身是子集，子集是有运算的，有交和并，但是并完后的空间不是线性空间（对加法不封闭），所以扩展出和空间。由于和空间分解不唯一，把分解唯一的和专门拿出来，叫做直和。