信号采样与重建
信号采样与重建
一、信号分类
连续信号：
X
a
(
t
)
=
A
c
o
s
(
Ω
t
+
θ
)
=
A
c
o
s
(
2
π
F
t
+
θ
)
=
A
2
e
j
(
Ω
t
+
θ
)
+
A
2
e
−
j
(
Ω
t
+
θ
)
.
X_a(t)=Acos(\Omega t+\theta)=Acos(2\pi Ft+\theta)\\ =\frac A 2e^{j(\Omega t+\theta)}+\frac A 2e^{-j(\Omega t+\theta)}.
Xa(t)=Acos(Ωt+θ)=Acos(2πFt+θ)=2Aej(Ωt+θ)+2Ae−j(Ωt+θ).
可以将其看作在复平面内向正频率逆时针旋转和负频率顺时针旋转信号之和。
离散信号：
X
(
n
)
=
A
c
o
s
(
ω
n
+
θ
)
=
A
c
o
s
(
2
π
f
n
+
θ
)
.
X(n)=Acos(\omega n+\theta)=Acos(2\pi fn+\theta).
X(n)=Acos(ωn+θ)=Acos(2πfn+θ).
其中，
ω
\omega
ω表示采样间隔内转过的角度，
f
f
f表示采样间隔内转过的圈数（见上图），只有当
f
f
f为有理数（
f
=
K
/
N
,
K
a
n
d
N
i
s
I
n
t
f=K/N,K\ and\ N\ is\ Int
f=K/N,K and N is Int）时信号为周期信号（离散点周期出现）。
此外可以简单的得知，信号频率 ∣ ω ∣ < π |\omega|<\pi ∣ω∣<π或 ∣ f ∣ < 1 / 2 |f|<1/2 ∣f∣<1/2的信号是唯一确定的，更高频率的信号总是可以在此区间找得到等效信号，或者说，是 ∣ ω ∣ < π |\omega|<\pi ∣ω∣<π内信号的混叠（可以思考下相机拍摄视频中，车轮倒转的现象）。
二、Nyquist采样
1、从单一频率正弦信号离散化过程理解采样原理
采样是对连续信号的离散化，假定，采样间隔为T，则采样频率
F
s
=
1
/
T
F_s=1/T
Fs=1/T：
X
a
(
n
T
)
=
X
(
n
)
=
A
c
o
s
(
Ω
⋅
n
T
+
θ
)
=
A
c
o
s
(
2
π
f
⋅
n
T
+
θ
)
=
A
c
o
s
(
ω
n
+
θ
)
=
A
c
o
s
(
2
π
f
n
+
θ
)
.
X_a(nT)=X(n)=Acos(\Omega\cdot nT+\theta)=Acos(2\pi f\cdot nT+\theta)\\ =Acos(\omega n+\theta)=Acos(2\pi fn+\theta).
Xa(nT)=X(n)=Acos(Ω⋅nT+θ)=Acos(2πf⋅nT+θ)=Acos(ωn+θ)=Acos(2πfn+θ).
所以：
ω
=
Ω
⋅
T
f
=
F
⋅
T
=
F
/
F
s
\omega=\Omega\cdot T\\ f=F\cdot T=F/F_s
ω=Ω⋅Tf=F⋅T=F/Fs
而前面我们又知道，离散信号的频率是存在范围限制的：
−
1
2
<
f
=
F
/
F
s
<
1
2
.
→
∣
F
s
∣
>
2
∣
F
∣
-\frac12<f=F/F_s<\frac 12.\\ \rightarrow |F_s|>2|F|
−21<f=F/Fs<21.→∣Fs∣>2∣F∣
即，采样频率应当满足大于模拟频率的两倍的关系，这样才能保证原始信号是唯一确定的，否则会出现线高频与低频信号采样结果的混叠，多对一。
2、从频域分析信号采样与重建
我们也可以从频域分析采样的过程，如下图，对于一个输入待采样信号 X c ( t ) X_c(t) Xc(t)，采样得到离散信号 X ( n ) X(n) X(n)。
在频域中，假设输入信号为
X
c
(
j
Ω
)
X_c(j\Omega)
Xc(jΩ)，采样得到离散信号频域特性如下图
X
s
(
j
Ω
)
X_s(j\Omega)
Xs(jΩ)。
采样得到的数字信号重建原始信号的过程实际可以理解为一个低通滤波的过程，即通过滤波器 H r ( j Ω ) H_r(j\Omega) Hr(jΩ)实现信号的截取得到原始数据。（也可以认为，采样离散化过程实际上是引入了高次谐波，重建过程就是去除这些干扰）。
可以图像上直观认识到，重建的条件，就是：
对于带限信号： X c ( j Ω ) f o r ∣ Ω ∣ > Ω N X_c(j\Omega)\ for\ |\Omega|>\Omega_N Xc(jΩ) for ∣Ω∣>ΩN，如果采样频率 Ω s = 2 π / T > 2 Ω N \Omega_s=2\pi/T>2\Omega_N Ωs=2π/T>2ΩN，则 X c ( t ) X_c(t) Xc(t)可以被它的采样序列 x [ n ] = x c ( n T ) , n = 0 , ± 1 , ± 2... x[n]=x_c(nT),n=0,±1,±2... x[n]=xc(nT),n=0,±1,±2...确定。
这就是Nyquist采样定理。
3、ZOH波形重建
上面的分析可以注意到一个问题：推演结果是建立在一个非因果系统之上，即重建需要知道信号全部时间序列的信息。而对于一些实时信号的采集重建需要需要的是一个因果重建器
h
(
t
)
h(t)
h(t)，使得：
x
′
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
t
/
T
x
(
n
T
)
h
(
t
−
n
T
)
x'(t)=\sum_{n=-\infty}^{t/T}x(nT)h(t-nT)
x′(t)=n=−∞∑t/Tx(nT)h(t−nT)
较好的重建器应当使得
x
′
(
t
)
x'(t)
x′(t)趋近于原始信号
x
(
t
)
x(t)
x(t)。实际中，采用的是一种零阶保持电路进行逼近重建：
但是对于该重建器，其幅频响应和相频响应如下图：
可以看到，重建器实际是存在高频部分无限振荡，这使得重建的过程引入了不需要的高频信号，对于这部分信号我们应该去除，我们可以简单的使用一个低通滤波进行处理。
所以，一个完整的信号采样和重建的过程可以如下图所示：