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4.5 关系模式设计之规范化形式

• 基本内容
  • 关系的第1NF和第2NF
  • 关系的第3NF和Boyce-Codd NF
  • 多值依赖及其公理定理
  • 关系的第4NF
• 重点与难点
  • 一组概念：1NF, 2NF, 3NF, BCNF, 4NF；多值依赖
  • 熟练应用数据库设计的规范化形式，判断数据库设计的正确性及可 能存在的问题

目录

4.5.1 关系的第1范式和第2范式

• 关系的1NF

  • 若关系模式 $R(U)$R(U) 中关系的每个分量都是不可分的数据项(值、原子)，则称 $R(U)$R(U) 属于第一范式，记为：$R(U) \in1NF$R(U)∈1NF

  • 1NF要求关系中不 能有复合属性、多 值属性及其组合

    示例：不符合1NF的：

    

  • 不符合1NF的处理

    示例：$Star( name, address(street, city))$Star(name,address(street,city))

    $Star( name, address)$Star(name,address) 或者$Star（name, street, city)$Star（name,street,city)

    将复合属性处理为简单属性；将多值属性与关键字单独组成一新的关系

• 关系的2NF

  • 若 $R(U) \in 1NF$R(U)∈1NF 且 $U$U 中的每一非主属性完全函数依赖于候选键，则称 $R(U)$R(U) 属于第二范式，记为：$R(U) \in 2NF$R(U)∈2NF。

  • 第2范式消除了非主属性对候选键的部分依赖。

  • 示例：

    $R(S\#, SN, SD, CN, G)$R(S#,SN,SD,CN,G)

    其中，$S\#:学号, SN:姓名, SD:班级, CN:课程, G:成绩$S#:学号,SN:姓名,SD:班级,CN:课程,G:成绩

    函数依赖：$S\# \rightarrow SN, S\# \rightarrow SD, \{S\#, CN\} \rightarrow G$S#→SN,S#→SD,{S#,CN}→G

    候选键：$\{S\#,CN\}${S#,CN} ，非主属性：$SN$SN和$SD$SD。

    因为：$\{S\#, CN\} \rightarrow^{p} \{SN、SD\}${S#,CN}→p{SN、SD} ，($S\# \rightarrow \{SN, SD\}$S#→{SN,SD}) 所以 $R$R 不属于 $2NF$2NF。

    将其分解为 $R1(S\#, SN, SD), R2(S\#, CN, G)$R1(S#,SN,SD),R2(S#,CN,G), 则 $R1 \in 2NF，R2 \in 2NF$R1∈2NF，R2∈2NF。

目录

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4.5.2 关系的第3范式和Boyce-Codd范式

• 关系的3NF

  • 若 $R(U，F) \in 2NF$R(U，F)∈2NF 且 $R$R 中不存在这样的情况：候选键 $X$X，属性组 $Y \subseteq U$Y⊆U和非主属性 $A$A, 且 $A \not\in X, A \not\in Y , Y \not\subset X, Y \not\rightarrow X$A​∈X,A​∈Y,Y​⊂X,Y​→X，使得 $X \rightarrow Y，Y \rightarrow A$X→Y，Y→A 成立。满足以上条件则称 $R(U)$R(U)属于第三范式，记为：$R(U) \in 3NF$R(U)∈3NF。

  • 第3范式消除了非主属性对候选键的传递依赖。

  • 示例

    • 示例1

      $Store(Sid,Pid,Did,Mgr)$Store(Sid,Pid,Did,Mgr)

      其中，$Sid:商店, Pid:商品, Did:经营部,Mgr:经理$Sid:商店,Pid:商品,Did:经营部,Mgr:经理

      函数依赖：$\{Sid, Pid\} \rightarrow Did, \{Sid, Did\} \rightarrow Mgr${Sid,Pid}→Did,{Sid,Did}→Mgr

      候选键：$\{Sid,Pid\}${Sid,Pid} ，非主属性：$Mgr$Mgr。

      因为：$\{Sid, Pid\} \rightarrow Did, \{Sid, Did\} \rightarrow Mgr${Sid,Pid}→Did,{Sid,Did}→Mgr，所以 $R$R 不属于 $3NF$3NF。 将其分解为 $R1(Sid,Pid,Did),R2(Sid,Did,Mgr)$R1(Sid,Pid,Did),R2(Sid,Did,Mgr), 则 $R1 \in 3NF，R2 \in 3NF$R1∈3NF，R2∈3NF

    • 示例2

      学生(学号，系号，系主任)

      候选键：$学号 \rightarrow^{f} U$学号→fU; 非主属性：系主任

      传递依赖：$学号 \rightarrow 系号，系号 \rightarrow 系主任$学号→系号，系号→系主任

      无部分依赖

      $\Rightarrow$⇒ 满足第2NF但不满足第3NF

  • 关系模式分解成 3NF

    • 示例

      $R(A,B,C,D,E, F, G)$R(A,B,C,D,E,F,G), 函数依赖集合 $\{A \rightarrow B, A \rightarrow C, C \rightarrow D, C \rightarrow E, E \rightarrow FG \}${A→B,A→C,C→D,C→E,E→FG}

      候选键：$A$A， 有传递依赖，$R$R 不满足 3NF

    • 分解规则

      将每一个函数依赖单独组成一个关系

      $\rho = \{R1(A, B), R2(A, C), R3(C, D), R4(C, E), R5(E, F, G))\}$ρ={R1(A,B),R2(A,C),R3(C,D),R4(C,E),R5(E,F,G))}

      可以看出：每一个模式都属于 3NF

      也可以合并一些关系：$\rho = \{R12(A,B,C), R34(C,D,E), R5(E, F, G)\}$ρ={R12(A,B,C),R34(C,D,E),R5(E,F,G)}

• 关系的BCNF

  • 若 $R(U，F) \in 1NF$R(U，F)∈1NF, 若对于任何 $X \rightarrow Y \in F$X→Y∈F (或 $X \rightarrow A \in F$X→A∈F), 当 $Y \not\subset X$Y​⊂X (或 $A \not\subset X$A​⊂X)时， X必含有候选键，则称 $R(U)$R(U) 属于 Boyce-Codd 范式，记为：$R(U) \in BCNF$R(U)∈BCNF。

  • 示例

    邮编(城市, 街道, 邮政编码)

    函数依赖：$\{城市, 街道\} \rightarrow 邮政编码${城市,街道}→邮政编码 ; $邮政编码 \rightarrow 城市$邮政编码→城市

    候选键： $\{城市, 街道\} \rightarrow^{f} U${城市,街道}→fU

    因不含候选键：$邮政编码 \rightarrow 城市$邮政编码→城市；所以不满足BCNF

    因无传递依赖，所以满足第3范式；

  • [定理]若 $R(U,F) \rightarrow BCNF$R(U,F)→BCNF, 则 $R(U,F) \in 3NF$R(U,F)∈3NF

    有传递依赖的或者说不满足3NF的，也一定不满足BCNF

    

  • 关系模式分解成BCNF

    • 示例

      $R(A,B,C,D,E, F, G)$R(A,B,C,D,E,F,G), 函数依赖集合 $\{A \rightarrow B, A \rightarrow C, C \rightarrow D, C \rightarrow E, E \rightarrow FG \}${A→B,A→C,C→D,C→E,E→FG}

      候选键：$A$A; 有不依赖于候选键的其他函数依赖，$R$R不满足$BCNF$BCNF。

    • 分解规则

      将左侧不含候选键的函数依赖单独组成一个关系, 将包含候选键的组成一关系

      $\rho = \{R1(C,D), R2(C,E), R3(E,F,G), R4(A,B,C)\}$ρ={R1(C,D),R2(C,E),R3(E,F,G),R4(A,B,C)}

      可以看出：$R1 \in BCNF, R2 \in BCNF, R3 \in BCNF, R4 \in BCNF$R1∈BCNF,R2∈BCNF,R3∈BCNF,R4∈BCNF

      也可以将 $R1$R1 和 $R2$R2 合并 $\rho = \{R12(C,D,E), R3(E,F,G),R4(A,B,C)\}$ρ={R12(C,D,E),R3(E,F,G),R4(A,B,C)}

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4.5.3 多值依赖

• 多值依赖定义

  在 $R(U)$R(U) 中， 设 $X, Y \subset U$X,Y⊂U, 若对于 $R(U)$R(U) 的任一关系 $r$r, 若元组 $t \in r, s \in r, t[X] = s[X]$t∈r,s∈r,t[X]=s[X], 则必有 $u \in r, v \in r$u∈r,v∈r 使得：

  • $u[X]=v[X]=t[X]=s[X]$u[X]=v[X]=t[X]=s[X]
  • $u[Y]=t[Y]$u[Y]=t[Y] 且 $u[U-X-Y] = s[U-X-Y]$u[U−X−Y]=s[U−X−Y]
  • $v[Y]=s[Y]$v[Y]=s[Y] 且 $v[U-X-Y] = t[U-X-Y]$v[U−X−Y]=t[U−X−Y]

  均成立，则称 $Y$Y 多值依赖于 $X$X , 或说 $X$X 多值决定 $Y$Y , 记作 $X \rightarrow \rightarrow Y$X→→Y

• 多值函数的特性

  • 直观地，对于 $X$X 给定值，$Y$Y 有一组值与之对应 (0或n个) 且这组 $Y$Y 值不以任何方式与 $U-X-Y$U−X−Y 中属性值相联系，有 $X \rightarrow \rightarrow Y$X→→Y。
  • 若交换 $t, s$t,s 的 $Y$Y 值而得到的新元组仍在r中，则 $X \rightarrow Y$X→Y。
  • $X, Y$X,Y 不必不相交，$u,v$u,v 可以与 $t,s$t,s 相同。
  • 函数依赖是多值依赖的特例。
  • 令 $Z=U-X-Y$Z=U−X−Y ,有 $X \rightarrow \rightarrow Z$X→→Z, 若 $Z=$Z=∅, 则必有 $X \rightarrow \rightarrow Y$X→→Y。

• 示例

  $R = \{ 课程名C, 教师名T, 上课时间H, 教室R, 学生名S, 成绩G\}$R={课程名C,教师名T,上课时间H,教室R,学生名S,成绩G}，则有：

  $C \rightarrow \rightarrow HR, T \rightarrow \rightarrow HR$C→→HR,T→→HR，但不存在 $C \rightarrow \rightarrow H$C→→H 及 $C \rightarrow \rightarrow R$C→→R。

  说明：同一门课程或同一教师对同一批学生可以在不同时间不同地点上课。

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4.5.4 关于多值依赖的公理

• 多值依赖的Armstrong公理

  设 $R(U), X, Y \subseteq U$R(U),X,Y⊆U, 对于 $R(U)$R(U) 的任一关系 $r$r, 有以下规则：

  • [A4] 多值依赖互补律(Complementation)或对称性：

    若 $X \rightarrow \rightarrow Y$X→→Y, 则 $X \rightarrow \rightarrow U - X - Y$X→→U−X−Y；

  • [A5] 多值依赖增广律(Augmentation)：

    若 $X \rightarrow \rightarrow Y$X→→Y 且 $V \subseteq W$V⊆W, 则 $WX \rightarrow \rightarrow VY$WX→→VY；

    注意：此条与A2规则是相似的：$X \rightarrow Y$X→Y 且 $V \rightarrow W$V→W，则 $WX \rightarrow VY$WX→VY；

  • [A6] 多值依赖传递律(Transtivity)：

    若 $X \rightarrow \rightarrow Y, Y \rightarrow \rightarrow Z$X→→Y,Y→→Z, 则 $X \rightarrow \rightarrow Z - Y$X→→Z−Y；

    注意：此条比A3规则限制要强：$X \rightarrow Y，Y \rightarrow Z$X→Y，Y→Z，则 $X \rightarrow Z$X→Z。多值依赖不存在这种规则，即： $X \rightarrow \rightarrow Y，Y \rightarrow \rightarrow Z$X→→Y，Y→→Z，则 $X \rightarrow \rightarrow Z$X→→Z不一定成立，

    例如 $C \rightarrow \rightarrow HR, HR \rightarrow \rightarrow H$C→→HR,HR→→H 但是 $C$C 不能多值决定 $H$H。

  • [A7] 若 $X \rightarrow Y,$X→Y, 则 $X \rightarrow \rightarrow Y$X→→Y；

  • [A8] 若 $X \rightarrow \rightarrow Y，Z \subseteq Y$X→→Y，Z⊆Y 且对于某个与 $Y$Y 不相交的 $W$W 有 $W \rightarrow Z, W \cap Y=$W→Z,W∩Y=∅, 则有 $X \rightarrow Z$X→Z。

• 多职以来的Armstrong公里证明

  

  

• 关于多值依赖的推论

  [引理7]：由Armstrong’s Axioms可推出如下结论。

  • 多值依赖合并律(Union Rule)：

    若 $X \rightarrow \rightarrow Y$X→→Y 且 $X \rightarrow \rightarrow Z$X→→Z, 则 $X \rightarrow \rightarrow YZ$X→→YZ。

  • 多值依赖伪传递律(Pseudo Transitivity)：

    若 $X \rightarrow \rightarrow Y$X→→Y 且 $WY \rightarrow \rightarrow Z$WY→→Z,则 $X \rightarrow \rightarrow Z - WY$X→→Z−WY。

  • 混合伪传递律：若 $X \rightarrow \rightarrow Y, XY \rightarrow Z$X→→Y,XY→Z, 则 $X \rightarrow Z \rightarrow Y$X→Z→Y

  • 多值依赖分解律(Decomposition Rule)：

    若 $X \rightarrow \rightarrow Y，X \rightarrow \rightarrow Z$X→→Y，X→→Z 则 $X \rightarrow \rightarrow Y - Z, X \rightarrow \rightarrow Z-Y, X \rightarrow \rightarrow Y \cap Z$X→→Y−Z,X→→Z−Y,X→→Y∩Z。

  证明：(略)

目录

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4.5.5 关系的第4范式和弱第4范式

• 关系的4NF

  设 $R(U) \in 1NF, D$R(U)∈1NF,D是其上的一组依赖(函数依赖，多值依赖)，对任意 $X \rightarrow \rightarrow Y \in D$X→→Y∈D, 若 $Y \not=$Y​= ∅，$Y \not\subset X, XY \not= U$Y​⊂X,XY​=U，必有 $X$X 为超键，则称 $R(U)$R(U) 满足第四范 式，记为：$R(U) \in 4NF$R(U)∈4NF

  • 第四范式消除了非主属性对候选键以外属性的多值依赖。
  • 如果有多值依 赖，则一定依赖于候选键

• 定理

  • [定理] 若 $R \in 4NF$R∈4NF, 则必有 $R \in BCNF$R∈BCNF。

    证明：设 $R \in 4NF$R∈4NF, 对 $R$R 上的任何 $X \rightarrow Y，Y - X \not=$X→Y，Y−X​=∅ ,

    (1) 当 $XY = U$XY=U 时，$X \rightarrow U，X$X→U，X必为超键。

    (2) 当 $XY \not= U$XY​=U 时，因 $X \rightarrow Y$X→Y，有 $X \rightarrow \rightarrow Y$X→→Y，由第四范式定义 $X$X 必为超键，再由BCNF定义知$R \in BCNF$R∈BCNF。

  • [定理] 若$R$R上仅存在函数依赖，则若有 $R \in BCNF$R∈BCNF 即有 $R \in 4NF$R∈4NF, 反之，若 $R \in 4NF$R∈4NF，也有 $R \in BCNF$R∈BCNF

• 关系的W4NF

  设 $R(U) \in 3NF$R(U)∈3NF, 若 $R$R 上的任何互补多值依赖 $X \rightarrow Y(XY \not= U, Y-X \not=$X→Y(XY​=U,Y−X​= ∅$)$) 和 $X \rightarrow \rightarrow (R - X - Y)$X→→(R−X−Y) 中必有一个是函数依赖，则称 $R$R 是弱第四范式的，记为 $R \in W4NF$R∈W4NF。

  注：W4NF不一定是BCNF, 反之亦然

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4.5.6 总结

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