2. Single View Metrology【cs231a课程笔记】

2.1. Single View Metrology

Isometric transformations(等度量变换)：平移、旋转

Similarity transformations(相似变换)：平移、旋转、缩放

Affine transformation(仿射变换)：平移、旋转、缩放、xy轴叠加（shear剪切）

对应线性空间的变换，保持比例、平行关系

Projective transformation \ homographies(透视变换 \ 单应变换) \ Perspective transformation(透视变换)

不保留平行关系，但是保留了cross ratio

2.2. point and line in infinity

orthogonal 正交的，垂直的
intersect 相交
infinity 无限

若点x属于线l，则$x^Tl=0$xTl=0 , $l_1与l_2$l1​与l2​相交则$x=l_1 l_2$x=l1​l2​

ideal point（每一组平行线在无穷远处相交于一点）
multi view stereo双目重建

lines at infinity：

c任取值，有

对于投影变换，ideal point不再是无限远（平行线会有交点）

而对于仿射变换，ideal point仍然是无限远。

对于infinity line也是如此。

$x^TIl=x^TH^TH^{-T}l=0$xTIl=xTHTH−Tl=0, $令x'=Hx，则有l'=H^{-T}l$令x′=Hx，则有l′=H−Tl,所以投影变换不再是无限远。

仿射变换仍是。

2.3. Vanishing Points and Lines, Plane

表示一个平面（plane）：d是原点沿（a，b，c）向量方向到该平面的距离

我们用映射变换将ideal point变换到三维空间中的一个点vanishing point。

取三维空间中的一组平行线，$d=(a,b,c)$d=(a,b,c)方向，相交于vanishing point $v=Kd$v=Kd(K是相机内参) 证明：

然后有

对于一个平面，上面的每组平行线都有vanishing point，组成了vanishing line，投影变换到image plane后，称为horizon line（地平线）

我们可以用horizon line判断是否平行，还可以加上相机参数判断该平面的法向量$n=K^Tl_{horiz}$n=KTlhoriz​.

所有的horizon line又组成了planes at infinity

特性

两组平行线（方向$d_1, d_2$d1​,d2​），infinity point $x_{1, \infin}, x_{2, \infin}$x1,∞​,x2,∞​,对应vanishing point$v_1, v_2$v1​,v2​,两个方向$d_1, d_2$d1​,d2​夹角是$\theta$θ，有：



对于两个平面，也是如此：

2.4. A Single View Metrology Example(单视图方法)

perpendicular 垂直的
Cholesky decomposition（Cholesky分解）：比一个对称正定矩阵表示成一个下三角矩阵。

假设已知两个互相垂直的平面，上面各有一对平行线，首先利用各种限制条件化简w

解出w后，可以Cholesky分解得到k，从而复原三维图像。