音频特征学习记录
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音频特征提取介绍：
音频通常是把一个实际信号看作是根据时间变化的电压值。 这是从时域的角度来观察信号。 而傅立叶定律指出，任意波形在时域中都可以由若干个正弦波和余弦波的加权和来表示。 例如，有两个正弦波，其中一个的频率是另一个的3倍。 将两个正弦波相加，就得到了一个不同的信号。
较常见的音频读取方式为librosa.core.load()
一众博客上都点明该方法是通过采样率对音频进行采样，默认采样率为22050，对于采样率较高的音频会被下采样，而采样率低于该值的将会上采样，所以要保留原有采样频率则sr=None实现。
参数信息：
- path：音频文件路径
- sr:采样率，值为None时保留原本采样率
- mono: bool，是否将信号转为单声道
- offset: float，在该值对应时间后开始阅读（秒为计量单位）
- duration: float，持续时间，仅计算该长度的音频（秒为计量单位）
返回值：
- y:音频时间序列
- sr:音频的采样率
从音频文件中读取出来的原始语音信号是一个一维数组，长度是由音频长度和采样率决定，值的大小通常表示的是振幅。
通过傅立叶定理（将每个信号分解成正弦波和余弦波，使之相加与原始信号相等）可以将信号分解为单个频率和频率幅度（简言之，将时域转换至频域）。
频域信号显示了不同频率对应的电压。 频域可以看成是另一种观察信号的角度。上述函数将音频采样转换为离散的值。 因为发生了转换，傅立叶转换在这些数据上无法进行。 可使用离散傅立叶变换(DFT)，其结果是离散形式的频域信号。 FFT是DFT的一种优化实现，计算量较少，但是本质上是对信号的分解。
STFT短时傅里叶变换是另一种对音频特征的提取方式，实际上是对一系列加窗数据做FFT。对原始信号进行分帧加窗后，可以得到很多帧，对每一帧做FFT（快速傅里叶变换），傅里叶变换的作用是把时域信号转为频域信号，把每一帧FFT后的频域信号（频谱图）在时间上堆叠起来就可以得到声谱图。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）是对一个向量进行变换，可将该向量看做一个n-1次多项式，并在每个单位根处求值，得出向量y（离散傅里叶变换后的结果，记为
D
F
T
n
(
a
)
DFT_{n}(a)
DFTn(a)，
A
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
−
1
a
i
x
i
在
ω
n
0
,
ω
n
1
,
⋯
,
ω
n
n
−
1
处的值
y
0
,
y
1
,
⋯
,
y
n
−
1
A(x)=\sum_{i=0}^{n-1} a_{i} x^{i} \text { 在 } \omega_{n}^{0}, \omega_{n}^{1}, \cdots, \omega_{n}^{n-1} \text { 处的值 } y_{0}, y_{1}, \cdots, y_{n-1}
A(x)=i=0∑n−1aixi 在 ωn0,ωn1,⋯,ωnn−1 处的值 y0,y1,⋯,yn−1
在每个单位根处求值，得到向量y。
y
i
=
A
(
ω
n
i
)
=
∑
j
=
0
n
−
1
ω
n
i
j
a
j
y_{i}=A\left(\omega_{n}^{i}\right)=\sum_{j=0}^{n-1} \omega_{n}^{i j} a_{j}
yi=A(ωni)=j=0∑n−1ωnijaj
y = DFT n ( a ) y=\operatorname{DFT}_{n}(a) y=DFTn(a)
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform），对此n-1次多项式，其系数向量为a
A ( x ) → a = [ a 0 , a 1 , a 2 , ⋯ , a n − 1 ] ⊤ A(x) \rightarrow a=\left[a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n-1}\right]^{\top} A(x)→a=[a0,a1,a2,⋯,an−1]⊤
将其分为偶数项和奇数项两个向量，对应为
a
[
0
]
a^{[0]}
a[0]和
a
[
1
]
a^{[1]}
a[1]，对应的两个多项式为
A
[
0
]
A^{[0]}
A[0]和
A
[
1
]
A^{[1]}
A[1],
a
[
0
]
=
[
a
0
,
a
2
,
⋯
,
a
n
−
2
]
⊤
→
A
[
0
]
(
x
)
a
[
1
]
=
[
a
1
,
a
3
,
⋯
,
a
n
−
1
]
⊤
→
A
[
1
]
(
x
)
a^{[0]}=\left[a_{0}, a_{2}, \cdots, a_{n-2}\right]^{\top} \rightarrow A^{[0]}(x) \\ a^{[1]}=\left[a_{1}, a_{3}, \cdots, a_{n-1}\right]^{\top} \rightarrow A^{[1]}(x) \\
a[0]=[a0,a2,⋯,an−2]⊤→A[0](x)a[1]=[a1,a3,⋯,an−1]⊤→A[1](x)
则对应多项式为：
A
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
−
1
x
n
−
1
A
[
0
]
(
x
)
=
a
0
+
a
2
x
+
a
4
x
2
+
⋯
+
a
n
−
2
x
n
2
−
1
A
[
1
]
(
x
)
=
a
1
+
a
3
x
+
a
5
x
2
+
⋯
+
a
n
−
1
x
n
2
−
1
A(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n-1} x^{n-1} \\ A^{[0]}(x)=a_{0}+a_{2} x+a_{4} x^{2}+\cdots+a_{n-2} x^{\frac{n}{2}-1} \\ A^{[1]}(x)=a_{1}+a_{3} x+a_{5} x^{2}+\cdots+a_{n-1} x^{\frac{n}{2}-1}
A(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+an−1xn−1A[0](x)=a0+a2x+a4x2+⋯+an−2x2n−1A[1](x)=a1+a3x+a5x2+⋯+an−1x2n−1
将
x
x
x替换成
x
2
x^{2}
x2:
A
[
0
]
(
x
2
)
=
a
0
+
a
2
x
2
+
a
4
x
4
+
⋯
+
a
n
−
2
x
n
−
2
A
[
1
]
(
x
2
)
=
a
1
+
a
3
x
2
+
a
5
x
4
+
⋯
+
a
n
−
1
x
n
−
2
A^{[0]}(x^{2})=a_{0}+a_{2} x^{2}+a_{4} x^{4}+\cdots+a_{n-2} x^{{n}-2} \\ A^{[1]}(x^{2})=a_{1}+a_{3} x^{2}+a_{5} x^{4}+\cdots+a_{n-1} x^{{n}-2}
A[0](x2)=a0+a2x2+a4x4+⋯+an−2xn−2A[1](x2)=a1+a3x2+a5x4+⋯+an−1xn−2
将奇数项对应多项式乘以
x
x
x:
x
A
[
1
]
(
x
2
)
=
a
1
+
a
3
x
3
+
a
5
x
5
+
⋯
+
a
n
−
1
x
n
−
1
xA^{[1]}(x^{2})=a_{1}+a_{3} x^{3}+a_{5} x^{5}+\cdots+a_{n-1} x^{{n}-1}
xA[1](x2)=a1+a3x3+a5x5+⋯+an−1xn−1
最终可以得到：
A
(
x
)
=
A
[
0
]
(
x
2
)
+
x
A
[
1
]
(
x
2
)
A(x)=A^{[0]}(x^{2})+xA^{[1]}(x^{2})
A(x)=A[0](x2)+xA[1](x2)
结合消去引理与折半引理(参见附录)
ω
d
n
d
k
=
ω
n
k
(
ω
n
k
+
n
2
)
2
=
(
ω
n
k
)
2
=
ω
n
2
k
\omega_{dn}^{dk}=\omega_{n}^{k}\\\left(\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}\right)^{2}=\left(\omega_{n}^{k}\right)^{2}=\omega_{\frac{n}{2}}^{k}
ωdndk=ωnk(ωnk+2n)2=(ωnk)2=ω2nk
可进行如下推导：
{
A
(
ω
n
k
)
=
A
[
0
]
(
(
ω
n
k
)
2
)
+
ω
n
k
A
[
1
]
(
(
ω
n
k
)
2
)
A
(
ω
n
k
+
n
2
)
=
A
[
0
]
(
(
ω
n
k
+
n
2
)
2
)
+
ω
n
k
+
n
2
A
[
1
]
(
(
ω
n
k
+
n
2
)
2
)
∵
(
ω
n
k
+
n
2
)
2
=
(
ω
n
k
)
2
=
ω
n
2
k
∴
{
A
(
ω
n
k
)
=
A
[
0
]
(
ω
n
2
k
)
+
ω
n
k
A
[
1
]
(
ω
n
2
k
)
A
(
ω
n
k
+
n
2
)
=
A
[
0
]
(
ω
n
2
k
)
+
ω
n
k
+
n
2
A
[
1
]
(
ω
n
2
k
)
又
∵
ω
n
k
+
n
2
=
−
ω
n
k
∴
{
A
(
ω
n
k
)
=
A
[
0
]
(
ω
n
2
k
)
+
ω
n
k
A
[
1
]
(
ω
n
2
k
)
A
(
ω
n
k
+
n
2
)
=
A
[
0
]
(
ω
n
2
k
)
−
ω
n
k
A
[
1
]
(
ω
n
2
k
)
\left\{\begin{array}{l} A\left(\omega_{n}^{k}\right)=A^{[0]}\left(\left(\omega_{n}^{k}\right)^{2}\right)+\omega_{n}^{k} A^{[1]}\left(\left(\omega_{n}^{k}\right)^{2}\right) \\ A\left(\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}\right)=A^{[0]}\left(\left(\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}\right)^{2}\right)+\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}} A^{[1]}\left(\left(\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}\right)^{2}\right) \\ \end{array}\right.\\ \because\left(\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}\right)^{2}=\left(\omega_{n}^{k}\right)^{2}=\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\\ \therefore\left\{\begin{array}{l} A\left(\omega_{n}^{k}\right)=A^{[0]}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right)+\omega_{n}^{k} A^{[1]}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right) \\ A\left(\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}\right)=A^{[0]}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right)+\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}} A^{[1]}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right) \end{array}\right.\\ 又\because\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}=-\omega_{n}^{k}\\ \therefore\left\{\begin{array}{l} A\left(\omega_{n}^{k}\right)=A^{[0]}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right)+\omega_{n}^{k} A^{[1]}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right) \\ A\left(\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}\right)=A^{[0]}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right)-\omega_{n}^{k} A^{[1]}\left(\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\right) \end{array}\right.
⎩⎪⎨⎪⎧A(ωnk)=A[0]((ωnk)2)+ωnkA[1]((ωnk)2)A(ωnk+2n)=A[0]((ωnk+2n)2)+ωnk+2nA[1]((ωnk+2n)2)∵(ωnk+2n)2=(ωnk)2=ω2nk∴⎩⎨⎧A(ωnk)=A[0](ω2nk)+ωnkA[1](ω2nk)A(ωnk+2n)=A[0](ω2nk)+ωnk+2nA[1](ω2nk)又∵ωnk+2n=−ωnk∴⎩⎨⎧A(ωnk)=A[0](ω2nk)+ωnkA[1](ω2nk)A(ωnk+2n)=A[0](ω2nk)−ωnkA[1](ω2nk)
则问题转化为了求次数界为n/2的多项式
A
0
A^{0}
A0和
A
1
A^{1}
A1在各个n/2次单位根上的值，
D
E
F
n
(
a
)
分
解
为
D
E
F
n
2
(
a
[
0
]
)
与
D
E
F
n
2
(
a
[
1
]
)
DEF_{n}(a)分解为DEF_{\frac{n}{2}}(a^{[0]})与DEF_{\frac{n}{2}}(a^{[1]})
DEFn(a)分解为DEF2n(a[0])与DEF2n(a[1])
至此我们可以将该问题化为递归问题，也由此可以看出该多项式需为2的幂次项
则递归式FFT其伪代码如下：
FFT ( a , lim ) \operatorname{FFT}(a, \lim ) FFT(a,lim)
1 : i f lim = = 1 r e t u r n 1: if\quad \lim ==1 \quad return 1:iflim==1return
2 : a [ 0 ] = ( a 0 , a 2 , ⋯ , a n − 2 ) 2: a^{[0]}=\left(a_{0}, a_{2}, \cdots, a_{n-2}\right) 2:a[0]=(a0,a2,⋯,an−2)
3 : a [ 1 ] = ( a 1 , a 3 , ⋯ , a n − 1 ) 3: a^{[1]}=\left(a_{1}, a_{3}, \cdots, a_{n-1}\right) 3:a[1]=(a1,a3,⋯,an−1)
4 : FFT ( a [ 0 ] , lim > > 1 ) 4: \operatorname{FFT}\left(a^{[0]}, \lim >>1\right) 4:FFT(a[0],lim>>1)
5 : FFT ( a [ 1 ] , lim > > 1 ) 5: \operatorname{FFT}\left(a^{[1]}, \lim >>1\right) 5:FFT(a[1],lim>>1)
6 : ω n = e 2 π n i = cos ( 2 π / n ) + i sin ( 2 π / n ) 6: \omega_{n}=e^{\frac{2 \pi}{n} i}=\cos (2 \pi / n)+i \sin (2 \pi / n) 6:ωn=en2πi=cos(2π/n)+isin(2π/n)
7 : ω = 1 7: \omega=1 7:ω=1
8 : f o r k = 0 … n / 2 − 1 8: for\quad k=0 \ldots n / 2-1 8:fork=0…n/2−1
9 : a k = a k [ 0 ] + ω a k [ 1 ] 9:\quad\quad a_{k}=a_{k}^{[0]}+\omega a_{k}^{[1]} 9:ak=ak[0]+ωak[1]
10
:
a
k
+
n
2
=
a
k
[
0
]
−
ω
a
k
[
1
]
10:\quad\quad a_{k+\frac{n}{2}}=a_{k}^{[0]}-\omega a_{k}^{[1]}
10:ak+2n=ak[0]−ωak[1]
11
:
ω
=
ω
ω
n
11:\quad\quad \omega=\omega \omega_{n}
11:ω=ωωn
当输入向量长度为1时，不进行处理，将其值直接返回，
若非，则将原向量按下标分为奇偶两个向量，再对其执行递归FFT，
而次数界（lim）则需要除以2，
第k组需要n次单位根的k次方（旋转因子）来乘奇数项的值，
设一个常量 ω n \omega_{n} ωn作为n次单位根，设一个变量 ω \omega ω为旋转因子，且当k为0时，其值为1，
根据先前推导的公式执行合并，共n/2次
最后需要将旋转因子乘以 ω n \omega_{n} ωn,保证k次执行时， ω = ω n k \omega=\omega_{n}^{k} ω=ωnk
F F T ( a ) \mathrm{FFT}(a) FFT(a)
1 : B i t R e v e r s e a 1: BitReverse \quad a \quad 1:BitReversea
$ 2: for \quad dep=1 \ldots \log _{2} n$
3 : m = 2 d e p 3: \quad m=2^{d e p} 3:m=2dep
4
：
ω
m
=
e
2
π
m
i
=
cos
(
2
π
/
m
)
+
i
sin
(
2
π
/
m
)
4： \quad \omega_{m}=e^{\frac{2 \pi}{m} i}=\cos (2 \pi / m)+i \sin (2 \pi / m)
4：ωm=em2πi=cos(2π/m)+isin(2π/m)
5
:
f
o
r
k
=
0
…
n
−
1
b
y
m
5: \quad for \quad k=0 \ldots n-1 by \quad m
5:fork=0…n−1bym
6
:
ω
=
1
6: \quad\quad \omega=1
6:ω=1
7
:
for
j
=
0
…
m
/
2
−
1
7: \quad\quad \text { for }\quad j=0 \ldots m / 2-1
7: for j=0…m/2−1
8
:
t
=
ω
a
k
+
j
+
m
/
2
8:\quad\quad\quad\quad t=\omega a_{k+j+m / 2}
8:t=ωak+j+m/2
9
:
u
=
a
k
:
+
j
9:\quad\quad\quad\quad u=a_{k:+j}
9:u=ak:+j
10
:
a
k
+
j
=
u
+
t
10:\quad\quad\quad\quad a_{k+j}=u+t
10:ak+j=u+t
11 : a k + j + m / 2 = u − t 11:\quad\quad\quad\quad a_{k+j+m/2}=u-t 11:ak+j+m/2=u−t
12 : ω = ω ω m 12:\quad\quad\quad\quad \omega=\omega \omega_{m} 12:ω=ωωm
对原数组重新排列，
从1到次数界的对数，
定义两个常量，表示合并后序列的长度m与m次单位根
再通过一个循环对每隔m的一组执行蝴蝶操作，
定义一个变量为旋转因子，
再通过一个循环体对每组内对应的数进行蝶形操作，
最后需要将旋转因子乘以 ω m \omega_{m} ωm,保证k次执行时， ω = ω m k \omega=\omega_{m}^{k} ω=ωmk
最终需要的数据顺序由位逆序置换（BitReverse）可得到，下标数据与排序数据的二进制互为倒数。
r
e
v
[
i
]
=
(
r
e
v
[
i
>
>
1
]
>
>
1
)
∣
(
(
i
&
1
)
<
<
(
len
−
1
)
)
r e v[i]=(r e v[i>>1]>>1) \quad \mid((i \& 1)<<(\text { len }-1))
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)∣((i&1)<<( len −1))
短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform)
短时傅里叶变换可以看成是将语音数据按照固定帧长进行切割，并且帧长移动时的步长会小于每一帧的长度，目的是保留语音的前后关系，每帧frame通过FFT得到一个向量，对应的是各频点的大小。之后将每帧进行结合形成矩阵向量（声谱图）
附录：
复数：
- 加法法则： ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
- 乘法法则： ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i
- 除法法则： a + b i c + d i = a c + b d c 2 + d 2 + b c − a d c 2 + d 2 i \frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}i c+dia+bi=c2+d2ac+bd+c2+d2bc−adi
- 欧拉定理： e i θ = c o s θ + i s i n θ e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta eiθ=cosθ+isinθ
每个复数都可以表示为 r ∗ e i θ r*e^{i\theta} r∗eiθ, z = x + y i = r ( c o s θ + i s i n θ ) = r e i θ z=x+yi=r(cos\theta+isin\theta)=re^{i\theta} z=x+yi=r(cosθ+isinθ)=reiθ，则两复数相乘的结果为两复数模相乘再乘以 e i θ e^{i\theta} eiθ 「棣莫弗定理」
单位根是 z n = r n e n θ i = 1 z^{n}=r^{n}e^{n\theta i}=1 zn=rnenθi=1在复数方位内的n个根，由于单位根的n次方为1，则单位根的模一定为1，因此单位根乘其自身就相当于辐角增加一倍，由于每个单位根的n次方都落在复平面上(1,0)所以每个单位根的辐角的n倍都是 2 π 2\pi 2π的倍数，并使用欧拉定理将其写成复数的形式。
z n = r n e n θ i = 1 ⇒ { r = 1 n θ = 2 k π ∴ ω n = 1 的 n 个 根 为 ： ω n k = e i 2 k π n = c o s 2 k π n + i s i n 2 k π n ( k = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 ) z^{n}=r^{n}e^{n\theta i}=1\\\Rightarrow \left \{ \begin {array}{l}r=1\\n\theta=2k\pi\end{array}\right.\\ \therefore \omega^{n}=1的n个根为：\\ \omega_{n}^{k}=e^{i\frac{2k\pi}{n}}=cos\frac{2k\pi}{n}+isin\frac{2k\pi}{n}\quad (k=0,1,2,…,n-1) zn=rnenθi=1⇒{r=1nθ=2kπ∴ωn=1的n个根为：ωnk=ein2kπ=cosn2kπ+isinn2kπ(k=0,1,2,…,n−1)
单位根：
- 消去引理：
ω d n d k = ω n k ω n n 2 = ω 2 = − 1 p r o o f . ω d k d n = ( e 2 π d n i ) d k = ( e 2 π n i ) k = ω n k \omega_{dn}^{dk}=\omega_{n}^{k}\\ \omega_{n}^{\frac{n}{2}}=\omega_{2}=-1\\ proof.\omega_{dk}^{dn}=(e^{\frac{2\pi}{dn}i})^{dk}=(e^{\frac{2\pi}{n}i})^{k}=\omega_{n}^{k} ωdndk=ωnkωn2n=ω2=−1proof.ωdkdn=(edn2πi)dk=(en2πi)k=ωnk
- 折半引理：
( ω n k + n 2 ) 2 = ( ω n k ) 2 = ω n 2 k ∵ ω n n 2 = ω 2 = − 1 ∴ p r o o f . ω n k + n 2 = ω n k ω n n 2 = − ω n k ( ω n k ) 2 = ω n 2 k = ω n 2 k (\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}})^{2}=(\omega_{n}^{k})^{2}=\omega_{\frac{n}{2}}^{k}\\ \because\omega_{n}^{\frac{n}{2}}=\omega_{2}=-1\\ \therefore proof.\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}=\omega_{n}^{k}\omega_{n}^{\frac{n}{2}}=-\omega_{n}^{k}\\ (\omega_{n}^{k})^{2}=\omega_{n}^{2k}=\omega_{\frac{n}{2}}^{k} (ωnk+2n)2=(ωnk)2=ω2nk∵ωn2n=ω2=−1∴proof.ωnk+2n=ωnkωn2n=−ωnk(ωnk)2=ωn2k=ω2nk
- 求和引理：
∑ i = 0 n − 1 ( ω n k ) i = 0 p r o o f . ∑ i = 0 n − 1 ( ω n k ) i = ( ω n k ) n − 1 ω n k − 1 = ( ω n n ) k − 1 ω n k − 1 = 1 k − 1 ω n k − 1 = 0 \begin{matrix} \sum_{i=0}^{n-1} (\omega_{n}^{k})^{i}=0 \end{matrix}\\ proof.\sum_{i=0}^{n-1}(\omega_{n}^{k})^{i}=\frac{(\omega_{n}^{k})^{n}-1}{\omega_{n}^{k}-1}=\frac{(\omega_{n}^{n})^{k}-1}{\omega_{n}^{k}-1}=\frac{1^{k}-1}{\omega_{n}^{k}-1}=0 ∑i=0n−1(ωnk)i=0proof.i=0∑n−1(ωnk)i=ωnk−1(ωnk)n−1=ωnk−1(ωnn)k−1=ωnk−11k−1=0
多项式：
- 多项式加法：
A ( x ) = ∑ i = 0 n a i x i B ( x ) = ∑ i = 0 n b i x i C ( x ) = ∑ i = 0 n c i x i c ( x ) = A ( x ) + B ( x ) c i = a i + b i A(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\\ B(x)=\sum_{i=0}^{n}b_{i}x^{i}\\ C(x)=\sum_{i=0}^{n}c_{i}x^{i}\\ c(x)=A(x)+B(x) \quad c_{i}=a_{i}+b_{i} A(x)=i=0∑naixiB(x)=i=0∑nbixiC(x)=i=0∑ncixic(x)=A(x)+B(x)ci=ai+bi
- 多项式乘法：
A ( x ) = ∑ i = 0 n a i x i B ( x ) = ∑ i = 0 n b i x i C ( x ) = ∑ i = 0 2 n c i x i c i = ∑ j = 0 i a j b i − j c = a ⊗ b A(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\\ B(x)=\sum_{i=0}^{n}b_{i}x^{i}\\ C(x)=\sum_{i=0}^{2n}c_{i}x^{i}\\ c_{i}=\sum_{j=0}^{i}a_{j}b_{i-j} \quad c=a\otimes b A(x)=i=0∑naixiB(x)=i=0∑nbixiC(x)=i=0∑2ncixici=j=0∑iajbi−jc=a⊗b