数理方程与特殊函数|波动方程：弦的横振动方程
数学物理方程：通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程。
我们将讨论集中讨论几种典型的二阶线性偏微分方程为主。
弦的横振动方程
物理问题：
有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动，列出弦的横振动方程。
取弦的平衡位置为x轴，令其端点坐标为x = 0和x = l。
设u(x, t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的横向位移，在线上隔离出长为dx的一小段弦元，弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点。
- 弦是完全柔软的：该质点只在弦的切线方向受到两端随时间与位置变化的力T(x, t)的作用，这个张力是切向应力。我们忽略了法向应力和重力作用。
如图所示，
我们将T沿着水平方向与竖直方向分解，由于做横振动的弦在水平方向上没有运动，所以方程为
- 小振动：x + dx与x两点间任意时刻横向位移之差u(x + dx, t) - u(x, t)与dx相比是一个小量，也就是相邻两点位移之差比起两点之间的距离来讲是一个小量，即
这个式子也是切线的斜率，所以
所以，由水平方向的运动方程可以得到在x + dx和x处的拉力是相同的，即弦中各点张力与空间无关。
对于竖直方向上（位移u的方向上）的运动方程，我们有
这里用了中值定理与极限。
最终我们导出了弦振动的方程：
其中ρ是弦的线密度（单位长度的质量）。
进一步的，我们定义
有
通过考察量纲，我们可以发现a就是弦的振动传播速率。
其实在小振动近似（准确到一级项u / x）下，弦元的伸长
是一个二阶无穷小量，我们将其忽略，所以弦元长度不随时间变化，张力T也不随时间变化。
当振动受到重力或者粘滞阻力，这些力一般沿着位移u的方向。设单位长度受到的外力为f，我们的公式为
因此，最终方程为
新出现的非齐次项为单位质量所受外力。