概率相关问题

title: 概率
date: 2019-08-09 14:10:06
tags: 概率论

一、概率论

概率空间：由三元组(Ω,F,P)定义：

Ω是所有可能输出（样本点）的非空集合,称作样本空间.
F是样本空间Ω幂集的非空子集， $F\subseteq 2^{\varOmega}$ ,称作事件空间.

P称为概率 ,是一个从F到实数域R的函数.每个事件都被此函数赋予一个0和1之间的概率值.

eg.抛六面的色子，所有可能输出 (样本空间)Ω={1,2,3,4,5,6}.

若事件是抛出奇或偶数，则事件空间F={∅,{1,3,5},{2,4,6},Ω}

概率的定义:

设事件空间F的样本空间为Ω.若按照某种方法,对F的每一事件A赋予一个实数P(A),且满足以下公理:

非负性

对于所有A∈F,P(A)≥0
规范性

P(Ω)=1
可列可加性

对于两两互不相容的可列无穷多个事件 $A_1$ , $A_2$ ,…, $A_n$ 有P( $A_1$ ∪ $A_2$ ∪…∪ $A_n$ )=P( $A_1$ )+P( $A_2$ )+…+ P( $A_n$ )

则称实数P(A)为事件A的概率

常用的概率公式

概率的基本性质

P(∅)=0,P(Ω)=1
联合概率

事件A和B同时发生的概率P(AB)
互斥(不相容)事件

A∩B=∅→P(AB)=0
逆事件

$A\cap \bar{A}=∅$ 且 $A\cup \overline{A}=\varOmega$

加法公式

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

$P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$

减法公式

$P(A-B)=P(A)-P(AB)$

乘法公式

$P(AB)=P(A)P(B|A)$

$P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)...P(A_n|A_1...A_{n-1})$

条件概率

$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 为事件A发生情况下，事件B发生的条件概率

书桌有 8个抽屉，编号 1~8 号。我每次拿到一份文件，都会把随机放到某一个抽屉中。但是，我非常粗心有1/5的概率会忘记把文件放到抽屉里，这份文件就会丢失。现在我要寻找某将依次打开8个抽屉寻找，请计算：
1）假如我打开第 1个抽屉，没有找到文件，那么这份在剩余的的概率：7/9

2）假如我打开了前 4个抽屉，没有找到文件，那么这份在剩余的屉的概率： 4（剩下四个）/6（包括另外两个打不开的）=2/3

3）假如我打开了前7个抽屉，没有找到文件，那么这份在最后一个抽屉的概率： 1/3

思路：假设增加 2个不能打开的抽屉，因为1/5的遗忘概率而丢失文件，是放到了这 2个抽屉里。（这里是凑出来的？）那么计算概率，就是在 10 个抽屉里算。

有甲乙两个篮球运动员，假设他们的罚球命中率分别为 0.6 和 0.5，现在两人各罚球一次，请计算：

1）两人都命中的概率：P(A) * P(B)=0.6 * 0.5=0.3

2)只有一人命中的概率：P( $\overline{A}$ ) * P(B)+P( $\overline{B}$ ) * P(A)=0.4 * 0.5+0.5 * 0.6=0.5

3)至少有一人命中的概率：1-P( $\overline{A}$ ) * P( $\overline{B}$ )=1-0.4 *0.5=0.8

概率相关问题

全概率公式

设事件 $B_1$ , $B_2$ ,…, $B_n$ 满足：

$B_1$ , $B_2$ ,…, $B_n$ 两两互不相容,且P( $B_i$ )>0
A是事件 $B_1$ , $B_2$ ,…, $B_n$ 的并集

则有全概率公式: $P\left( A \right) =\varSigma _{i=1}^{n}P\left( B_i \right) P\left( A|B_i \right)$

现有 2个袋子，袋子1里有5个白球和1个黑球，袋子 2里有 3个白球和 7个黑球。试验规则是先掷骰子，如果硬币为正面，则袋子1被选择，如果硬币反面，则袋子 2被选择，然后在被选择的袋子里随机抽出一个球，最后抽出白球的概率是多少？

$P(白)=P(白|袋子1) * P(正)+P(白|袋子2) * P(反)=(5/6)*(1/2)+(3/10)*(1/2)=17/30$

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