曾在UVa上看到一道题：
UVa766幂之和
对于正整数k，可以定义k次方和：
Sk(n)=∑ni=1ik
可以把它写成下面的形式。当M取最小可能的正整数时，所有系数
ai都是确定的。
Sk(n)=1M(ak+1nk+1+aknk+...+a1n+a0)
输入
k(0<=k<=20)，输出
M,ak+1,ak,...,a1,a0，输出6,2,3,1,0。
乍一看，这题简直就是道求数学公式的水题嘛，记得当时是注意到公式会比普通式子高一次，于是用k+1次去差分得到k次式，再将这些k次式相加，中间就包含了需要求的原式。搭配着二项式倒着递推，最后稍加处理就得到了公式。
现在想来，方法还有点多啊。和式这个话题，已经不少见了，积分这个话题，我们也不少见了。同样是累加求和，区别仅仅是一个建立在有限上，另一个建立在无限上，这会有多大区别吗？
假设f(x)=x2，那么上图染色部分分别是f(x)函数[0,3]上的积分与[0,3]上和与积分的差。我们称这种误差为E，用En表示[0,n]区间上的误差，即图中绿色部分的面积。我们尝试着将积分区间化：
En=∑nk=1(k2−∫kx=k−1x2dx)
En=∑nk=1k−13
En=n22+n6
带回原式得：∑nk=1k2=n33+n22+n6
另外一种方法是定义有限微积分，一种与微积分相对应的工具。
f′(x)=limu−>0f(x+u)−f(x)u
对应的引入差分
Δ：
Δf(x)=f(x+1)−f(x)1=f(x+1)−f(x)
我们需要寻找更多相同的性质。我们定义一种新的运算
xμ−表示下降阶乘幂，即
x(x−1)...(x−m+1)，同理我们可以定义
xμ¯表示上升阶乘幂，即
x(x+1)...(x+m−1)。
在微积分中，我们有
(xμ)′=μxμ−1
同样，我们可以发现
Δ(xμ−)=(x+1)m−−−xm−−=mxm−1−−−
接下来转到积分，即之前的逆运算，我们仍然能得到：
∑f(x)δx=F(x)+C
其中C在差分时被消掉了。将区间的意义赋给它，有
∑baf(x)δx=F(b)−F(a)
但是，唯一需要注意的一点就是
∑ba的意义。这与定积分并不完全一致，因为定积分分段
dx−>0，而这个为1.因此必定是半开半闭区间。不难发现是
a<=k<b。
现在，有了这些工具，我们可以尝试着求解
x3求和问题。我们只知道下降阶乘幂在有限微积分中的意义。我们尝试着分解。不难发现，
k3=k3−+3k2−+k1−
这不就是刚才推导出来的吗？还有许多式子也能像这样分解，从而简单求解。这就是其魅力所在。
