正态函数（高斯分布）

若随机变量X服从一个位置参数为μ、尺度参数为σ的概率分布，且其概率密度函数为

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}

则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作

X

N

(

μ

，

σ^{2}

)。
当

μ = 0

，

σ = 1

时，称为标准正态分布。

X

N (0, 1)

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}}

如下图是一般正态分布
正态分布，Q函数，误差函数，补误差函数

如下图是标准正态分布
正态分布，Q函数，误差函数，补误差函数

一般正态分布的分布函数 $F (x) :$

F (x) = P (X \leq x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \int_{- \infty}^{x} e^{- \frac{(t - μ)^{2}}{2 σ^{2}}} d t

标准正态分布的分布函数

Φ (x) :

Φ (x) = P (X \leq x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- \frac{t^{2}}{2}} d t

正态分布，Q函数，误差函数，补误差函数

设 $X$ ~ $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (x_{1} < X < x_{2}) = Φ (\frac{x_{2} - μ}{σ}) - Φ (\frac{x_{1} - μ}{σ})$

Q函数

Q函数又称标准正态分布的右尾函数。

Q (x) = \int_{x}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{t^{2}}{2}} d t = 1 - Φ (x)

正态分布，Q函数，误差函数，补误差函数

e r f (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t

e r f c (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{x}^{\infty} e^{- t^{2}} d t = 1 - e r f (x)

正态分布，Q函数，误差函数，补误差函数

Q (x) = 1 - Φ (x)

Q (x) = \frac{1}{2} e r f c (\frac{x}{\sqrt{2}})

e r f c (x) = 2 Q (\sqrt{2} x)

e r f (x) = 1 - 2 Q (\sqrt{2} x)

e r f (x) + e r f c (x) = 1

由正态分布密度函数的总积分为1（即概率 $P (X < \infty) = 1$ ）得：

$\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x = 1$

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x = \sqrt{2 π}$

令 $t = \frac{x}{\sqrt{2}}$ ， $x = \sqrt{2} t$ ，再将自变量 $t$ 替换为 $x ：$

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π}$

$\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \frac{\sqrt{π}}{2}$

第一次编辑，打公式练手~顺便保存下来方便看~

有几个问题厚，希望有人看得到0.0

插入几个图片怎么才能在一排显示呀？
还有可不可以通过写图片路径插入图片啊？
小于等于号除了＜加下划线的这种，那种好看一点的怎么打出来诶？