参看论文：Fast and robust 3D ultrasound registration – Block and game theoretic matching

期刊水平：Medical imaging analysis (MIA)

投稿单位：伊拉斯谟医学院 计算医学中心

文章作者设计了一种全局稠密块匹配的跟踪算法，原理是序列配准，核心是几何约束下的outliers reject策略。

图1：作者3D实体中选择网格控制点的分布。作者验证了效果最好对应的参数条件：块大小11x11x11，每个块的搜索空间40x40x40平局统计了196点。虽然作者说他们采用了GPU进行加速，但是这是相当的消耗时间的了，所以8Hz的处理速度一提出来很多人多进行质疑。

1. 几何约束

形变块方法中deformation blocks都会涉及到利用几何约束实现‘保形’的目的。这个问题，真的是困扰了我很久，无论是即将谈到的形变网格方法还是弹簧振子模型都是一个道理。每个控制点去进行块匹配确定顶点的属性，各个端点之间的距离矩阵又构成了拓扑结构。这样的话，理论上就可以用网格类的方法进行处理。这里介绍原文作者的思路。
Let P = {ph}  (固定帧中的标准网格) and Q = {qh} （浮动帧网格通过最佳匹配得到的匹配之后网格）where 0<h≤m, m是指网格点数量。每一个点控制着一块解剖结构， 两个点之间几何距离保留着解剖信息，这种距离允许发生或多或少的变化，但是不会发生严重的离群点变化。换句话来说，移动帧中的点qh应该和Q点集中其他大部分点保存固定的几何结构。所以，具有这样几何结构的点应该具有更高的可靠性，反之就是离群的点。这种判断网格点是否是异常点的准则，成为了作者本篇论文的核心（2013年Torresani也曾经报道过这样的方法 Torresani, L., Kolmogorov, V., Rother, C., 2013. A dual decomposition approach to feature correspondence. IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 35, 259–271）。 这种信息被集成在图结构中，可以采用邻接矩阵表示（A记录该顶点到其他所有顶点的距离，全连接无向图）。An adjacency matrix (A) represents a fully-connected undirected graph whose edges express the relative relationships, or affinities, between each pair of points in the point set, and is defined as follows:

O={1,2,3,...,m}是一组元素的集合，列举了点集P与点集Q之间的双映射关系。切记qu,qv是以u，v为顶点的Q集合中的元素。pv,pu是以u,v为顶点的P集合中的元素。xh是指这个点ph是inlier的概率(???). 对应的两个点在两个点集的距离差通过他们各自距离的加和进行归一化。带宽用来调节距离的强度影响。

Comment：这个几何约束的推导，可以利用“保型”的观点进行理解。如果浮动图像中任何两个点具有和参考帧中两个点一样的（或者近似）距离结构，从概率上讲他们是正确的。如果出现了误匹配的点，那么这个距离相比较而言是比较大的。

一个模拟仿真实验如下：

图一：蓝色点集代表标准网格控制点。红色点集是每一个对应的蓝色控制点执行最佳匹配后的位移估计。右侧是采用邻接矩阵得到的决策图。

Comment：不建议对每个距离都用高斯窗函数进行调解。

评价最终的收益

性能对比分析

金标准偏移+噪声污染	[2.0000, 2.0000]
没有几何约束下平均偏移估计：	[2.4998, 2.3293 ]
参考几何约束下平均距离估计：	[2.1319, 2.0592]

2. 形貌约束

其实在最佳匹配过程中，每个网格点还具有一个非常重要的属性，那就是形貌相似度（相似度分数）。

所以对于网格点集，同时执行形貌约束和几何约束将会取得更好的效果。

The appearance constraint is derived from the block-matching scores. This constraint favors locations that have high blockmatching scores. The appearance term is defined for each point as follows:

ru是第u的网格点进行最佳块匹配后的匹配分数。

Comment：不建议对每个形貌分数都用高斯窗函数进行调解。

3. 几何约束联合形貌约束进行约束

Combining the quadratic geometric constraint and the linear appearance constraint, the function to optimize for our case is:

联合二次几何约束和线性形貌约束，进行优化：

x是所有网格点的属性，inliers or outliers。

用下式对上式进行等价替代

所以，非齐次二次函数就可以转换为齐次二次函数（参考文献：Bomze, I.M., Locatelli, M., Tardella, F., 2008. New and old bounds for standard quadratic optimization: dominance, equivalence and incomparability. Math. Program. 115, 31–64.）。

Comment：在权重分配的处理上作者还是很有经验的，这也是该篇文章的一个很大的亮点。

其一：作者并没有采用简单的阈值方法，而是构建了优化函数，进而确定权重。

其二：作者创造性地将两个不一致的约束条件（几何约束和形貌约束）统一到了优化函数中。