现代控制理论基础总结
现代控制理论基础总结(线性部分)
学习现代控制理论也有两个月的时间了,里面涉及的基础内容和公式十分之多,所以现在对各部分基础知识作一个总结。
1、控制系统的状态表达式
在现代控制理论中,状态空间这是基础,如何从日常生活中系统推导出状态空间表达式十分重要。
1.1、从实际系统建立状态空间方程
上图是一个直流电机的示意图,图中R,L为电枢回路的电阻和电感,J为旋转机械部分转动惯量,B为旋转部分粘性摩擦系数
建立状态方程首先要选取独立的系统变量,这里选取电流i和旋转速度w,即:
上述动力学方程是基于转矩平衡方程得出,
所以将
1.2、从n阶微分方程建立状态方程
引用现代控制理论中的公式:
我们知道状态方程的标准形式如下:
式1.19中
当
当
1.2.1、传递函数没有零点时的实现
例:对于下式微分方程
选取独立变量
因此有:
可得矩阵方程:
输出矩阵:
1.2、状态变量的线性变换(坐标变换)
对于原状态矢量
即:
将上式代入状态方程可得:
1.2.1、非奇异矩阵T 求解
1、求系统特征值
对于系统
可知其特征方程:
存在特征矢量方程:
1)当特征值
2)当特征值
因此当A是3阶矩阵时得:
2、系统为约旦标准型
注意上式中J=A中A并非原状态方程A,存在等式:
即
例如以下例题:
自然约旦方程的各个系数就可以根据T求出。
3、系统A为标准型