（LXTML笔记）关于支持向量机[四]

Soft-Margin Support Vector Machine

用hard-margin分类效果较差的主要原因有两点，分别是变换过于powerful以及坚持要求严格分开，不容得一点错误。

既然如此不妨像pocket那样，容许一定的错误，让犯错最小即可，不必完全正确

由于∑$\sum$内的量并不是一个线性量，这样的话就不能将其转换为一个QP问题，设置不好解，所以我们建立一个新的模型如下

用类似的方法考虑其对偶问题

对b,w,ξ$b,w,\xi$求偏导数并等于0，最终可以整理的到

这是满足QP条件的，分别是N个变量，2N+1个线性条件。当我们将an$a_n$解出来后，w$w$很容易，依旧是w=∑Nn=1anynzn$w=\sum _{n=1}^N{a}_n{y}_n{z}_n$，而参数b$b$的话由complementary slackness（右边的黄色框条件），我们引入比之前更强的对于支持向量的描述，即需要0<an<C$0<a_n<C$，此时可以解出b$b$

关于an,ξn$a_n,{\xi }_n$的意义

Kernel Logistic Regression

换个角度来看上图左上角的黄色框所示的最优化问题，如果我们令ξn=max(1−yn(wTzn+b),0)${\xi }_n=max(1-y_n(w^T{z}_n+b),0)$的话，那么由中间绿框的分析我们知道我们实际上可以去掉subject to条件（必然满足限制条件），如果我们将max$max$这一部分看做是一种error的话，

那么实际上我们前面的最优化项12wTw$\frac{1}{2}{w}^{T}w$反倒是可以看成是正则项！我们对0-1error、SVM-error（即此处的max）以及logistic回归的error进行比较有

惊人的事情出现了，实际上SVM-error（即此处的max）和logistic回归的error是非常接近的！所以我们甚至可以将soft-margin-SVM看作是L2-logistic regression！

为了将两者结合起来，下面这里有两种基本思想

1.直接对数据经行SVM，然后求出来的w$w$和b$b$直接给logReg使用
2.SVM得到的w$w$和b$b$作为起始点

不过对于第二种思想，由于问题是凸的，最优点唯一，用任何起始点没有区别，甚至这样的SVM可能会带来更多的计算量；而对于这两种思想，可以用一个二元的变量参数来乱搞

训练的话用GD或者SGD什么的都可以，毕竟只有两个变量。

Kernel work的关键

实际上，回顾我们所学过的SVM中的kernel技巧，核技巧的变化在于zTz$z^{T}z$，若w$w$能表示为z$z$的线性组合的话，那么kernel就会奏效，而w=∑Nn=1βnzn$w=\sum _{n=1}^N{\beta }_n{z}_n$是KKT条件的一个

下面给出一个很强的结果，称为representer theorem，表达如下

所有形如上图绿框形式的最优问题（线性问题的L2正则），必然有最优解w$w$能被z$z$线性表出，这里的线性问题指的是评分函数是wTzn$w^T{z}_n$，证明如图所示。

所以由representer theorem，我们直接对L2的logReg代入w$w$的线性展开，有

然后用GD，SGD等方法即可

Support Vector Regression

将误差项改为平方误差，我们来看一下这样的线性回归问题（岭回归）

对全局关于β求导，并令其为0可以直接解出β

对比普通的岭回归和核岭回归有如下

下面我们来对比一下刚才这个核岭回归（使用了平方误差的SVM）和一般的soft-margin gaussian SVM

可以发现由于核岭回归中β=(λI+K)−1y$\beta =(\lambda I+K{)}^{-1}y$，所以几乎不为0，从上图右子图就可以看到，它几乎都是支持向量，那如何做才能将β$\beta$变得稀疏呢？在SVM变成soft-margin SVM 时候采用的办法是让自己不那么严格，容许一定的错误。此时我们也可以类似的换一种误差

同样是希望将max转换为线性的，可供二次规划的程序来求解，所以

求解的话和上面的程序是一样的，