为什么我们按照我们的方式来增加矩阵？
为什么我们通过将第一行与第二列相乘来完成此操作。它的实际用途和发明者是什么？逻辑上4×2意味着四次两次或两次四次。那么为什么矩阵乘法只是相应元素的点积？为什么我们按照我们的方式来增加矩阵？
这是困扰我的事情之一。
对于数字，2x4 = 4x2，因为它们是可交换的。矩阵不通勤，所以下层数字的交换性与它无关。
这个想法是，一个向量（我将指一个垂直写入的列向量）是一个向量空间中的实体。这个向量空间具有在其上定义的加法和标量乘法。它也有一个基础{e_n}。 e_i只是第i个分量中有1个而其他地方为0的向量。任何矢量都可以写成{e_n}的线性组合。例如，在二维空间中，
|x_1| |1| |0|
|x_2| = x_1 |0| + x_2 |1|
矩阵作为线性变换作用于此向量并生成新向量。线性变换仅仅是一个函数，Ť，与Ť（X + Y）= Ť（X）+ Ť（Y）和c Ť（X）= Ť（CX）对于任何矢量，x和y以及任何实数c（尽管我们可以将其用于其他字段）。因此矩阵A作用于向量x并产生另一个向量y。 A x = y。
|a_11 a_12| |x_1| |y_2| |x_1 a_11 + x_2 a_12|
|a_21 a_22| |x_2| = |y_1| = |x_1 a_21 + x_2 a_22|
但是，这样只是一样
x_11 |a_11| + x_2*|a_12|
|a_22| |a_22|
因此，我们再次表示的操作的定义，我们可以查看矩阵为一组由它的列向量作为矩阵的列的线性组合，向量（m * n矩阵乘以* 1矩阵）上的矩阵。
这就是允许我们将矩阵与线性变换混合的原因。为了表示给定的线性变换，作为矩阵，我们在矩阵的第i列中放置T（e_i）。打电话给这个矩阵A_T。然后A_T X = X_1 Ť（E1）+ X_2 Ť（E2）+ ... + x_n Ť（烯）。但用T，的线性如果x = X_1 E_1 + X_2 E_2 + ... + x_n e_n，然后Ť（X）= X_1 Ť（E_1）+ X_2 Ť（E_2）+ .. 。+ x_n T（e_n）。但这正是我们之前写的A_T。因此，需要将矩阵乘以一个向量的定律，以使我们能够将线性变换表示为矩阵。
现在我们来考虑乘上一般的矩阵。这里的想法是线性函数的组成，即首先做T _1然后做T _2。对于某个向量x，即T _2（T _1（x））。我们从上面知道，我们可以将这些看作矩阵乘法。那就是 A_T2（A_T1 x）。让我们从两个角度来看待它，因为其他任何东西都是受虐狂的，并且足以让所有的想法得到贯穿。让我们将这些矩阵重新标记为A_t2 = A和A_T1 = B。那么我们有
A(B x) = |a_11 a_12| (|b_11 b_12| |x_1|)
|a_21 a_22| (|b_21 b_22| |x_2|)
= |a_11 a_12| |x_1 b_11 + x_2 b_12|
|a_21 a_22| |x_1 b_21 + x_2 b_22|
= |(x_1 b_11 + x_2 b_12) a_11 + (x_1 b_21 + x_2 b_22) a_12|
|(x_1 b_11 + x_2 b_12) a_21 + (x_1 b_21 + x_2 b_22) a_22|
= |x_1 (a_11 b_11 + a_12 b_21) + x_2 (a_11 b_12 + a_12 b_22)|
|x_1 (a_21 b_11 + a_22 b+21) + x_2 (a_21 b_12 + a_22 b_22)|
= |(a_11 b_11 + a_12 b_21) (a_11 b_12 + a_12 b_22)| |x1|
|(a_21 b_11 + a_22 b+21) (a_21 b_12 + a_22 b_22)| |x2|
这只是矩阵乘法。
PS。也可能属于Math.SO，但我没有投票结束，因为我回答了。这对于那里来说可能太基本了。
+1这是一个绝对美丽的答案。 – templatetypedef 2011-03-01 07:32:23
= | x_1（a_11 b_11 + ** a_12 + b_21 **）+ x_2（a_11 b_12 + a_12 b_22）|大胆的部分应该是乘法不加，请编辑你的答案来修复错字:) – sowrov 2012-05-17 19:18:41
@sowrov。我多么sl。。感谢您的更正。 – aaronasterling 2012-05-18 02:23:55
属于数学SO。不是编程。 – leppie 2011-03-01 06:43:31
AB的第i个条目是A的第i行和第j列的B点产品。您需要的原因是使AB的工作类似于两个线性操作的组合 - 如果A是线性操作B是一个线性运算，则得到对应于进行操作A的线性操作的矩阵，然后操作B，则需要进行行→列的乘法运算 – 2011-03-01 06:45:21
乘以相应的元素作为矩阵乘法并不会特别有用，因为它将与在矩阵中碰巧具有坐标的元素的列表相乘没有什么不同。奇怪的数学运算通常被定义，因为它们具有有用的特性，并且往往会在很多问题中自然弹出，这是雅罗斯拉夫给出的一个例子。此外，这绝对属于数学SO ... – jprete 2011-03-01 06:51:58