上图来自同济大学高等数学第七版上册p23

我们已经知道，数列极限的定义如下:

总存在一个数a，对于任意小的正数k，存在一个n大于N，使得|Xn-a|<k恒成立。

证明思路：反过来假设极限不是唯一，分别有极限a，和极限b。这个证明中，任意小的数是b-a/2，只是恰好b>a，b-a/2可以是一个任意小的正数k。

所以可以得出|Xn-a|<(b-a)/2和|Xn-b|<(b-a)/2。而这两个式子的前提条件都分别有n>N。如果我们取一个数作为n，这个数大于式子2-2和式子2-3中的前提N1和N2。那么显而易见的，这个取的数n，对于这两个式子，是恒成立的。

我们化简这两个式子来更好的比较。

式子2-2=-((b-a)/2)<Xn-a<(b-a)/2=(a-b)/2+a<Xn<(b-a)/2+a=(3a-b)/2<Xn<(a+b)/2

式子2-2=-((b-a)/2)<Xn-b<(b-a)/2=(a-b)/2+b<Xn<(b-a)/2+b=(a+b)/2<Xn<(3b-a)/2

可以看到，n代入后并没有成立，反而矛盾了。

存在一个疑问：

用反证法证明极限的唯一性时，为什么取ε=(b-a)/2

可能看到后面会理解。