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十四、重积分

1 二重积分

1.1 二重积分的定义

在有界闭区域D上的有界函数f(x,y)的二重积分为
$\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}σ=\lim_{λ→0}\sum\limits_{i=1}^nf(ξ_i,η_i)△σ_i$D∬​f(x,y)dσ=λ→0lim​i=1∑n​f(ξi​,ηi​)△σi​
其中λ为各小区域直径中的最大值。
注： 若f(x,y)在有界闭区域上连续，则二重积分一定存在。
几何意义：当连续函数$z=f(x,y)\geqslant0$z=f(x,y)⩾0时，二重积分$\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}σ$D∬​f(x,y)dσ表示曲顶柱体的体积。

1.2 二重积分的性质

1. $\iint\limits_D[kf(x,y)±lg(x,y)]\mathrm{d}σ=k\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}σ±l\iint\limits_Dg(x,y)\mathrm{d}σ$D∬​[kf(x,y)±lg(x,y)]dσ=kD∬​f(x,y)dσ±lD∬​g(x,y)dσ，(其中k,l为常数)
   
2. 若D可分为两个区域D₁和D₂，则
   $\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}σ=\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}σ+\iint\limits_{D_2}f(x,y)\mathrm{d}σ$D∬​f(x,y)dσ=D1​∬​f(x,y)dσ+D2​∬​f(x,y)dσ
   
3. $\iint\limits_D\mathrm{d}σ=σ$D∬​dσ=σ，其中σ为区域D的面积，由此可求平面图形的面积。
   
4. 若在D上，$f(x,y)\leqslant g(x,y)$f(x,y)⩽g(x,y)，则
   $\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}σ\leqslant\iint\limits_Dg(x,y)\mathrm{d}σ$D∬​f(x,y)dσ⩽D∬​g(x,y)dσ
   
5. $|\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}σ|\leqslant\iint\limits_D|f(x,y)|\mathrm{d}σ$∣D∬​f(x,y)dσ∣⩽D∬​∣f(x,y)∣dσ
   
6. 设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大和最小值，σ是D的面积，则有
   $mσ\leqslant\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}σ\leqslant Mσ$mσ⩽D∬​f(x,y)dσ⩽Mσ
   
7. 中值定理
   设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ,η)，使$\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}σ=f(ξ,η)·σ$D∬​f(x,y)dσ=f(ξ,η)⋅σ
   

1.3 二重积分的计算

1.3.1 利用直角坐标计算二重积分

• 若D为X——型区域，则D可用不等式组表示为：$a\leqslant x\leqslant b,φ_1(x)\leqslant y\leqslant φ_2(x)$a⩽x⩽b,φ1​(x)⩽y⩽φ2​(x)，则
  $\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}σ=\int_a^b\mathrm{d}x\int_{φ_1(x)}^{φ_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$D∬​f(x,y)dσ=∫ab​dx∫φ1​(x)φ2​(x)​f(x,y)dy
  
  

• 若D为Y——型区域，则D可用不等式组表示为：$c\leqslant y\leqslant d,ψ_1(y)\leqslant x\leqslant ψ_2(y)$c⩽y⩽d,ψ1​(y)⩽x⩽ψ2​(y)，则
  $\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}σ=\int_c^d\mathrm{d}y\int_{ψ_1(y)}^{ψ_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$D∬​f(x,y)dσ=∫cd​dy∫ψ1​(y)ψ2​(y)​f(x,y)dx
  
  
  (PS：GeoGebra的曲边填充一直搞不定，用直线代替一下，理解即可)
  

1.3.2 利用极坐标计算二重积分

• 若极点在D内，则D可用不等式组表示为：$0\leqslant θ\leqslant 2π,0\leqslant r\leqslant r(θ)$0⩽θ⩽2π,0⩽r⩽r(θ)，则
  $\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}σ=\int_0^{2π}\mathrm{d}θ\int_0^{r(θ)}f(r\cos{θ},r\sin{θ})r\mathrm{d}r$D∬​f(x,y)dσ=∫02π​dθ∫0r(θ)​f(rcosθ,rsinθ)rdr
  

• 若极点在D的边界线上，则D可用不等式组表示为：$α\leqslant θ\leqslant β,0\leqslant r\leqslant r(θ)$α⩽θ⩽β,0⩽r⩽r(θ)，则
  $\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}σ=\int_α^{β}\mathrm{d}θ\int_0^{r(θ)}f(r\cos{θ},r\sin{θ})r\mathrm{d}r$D∬​f(x,y)dσ=∫αβ​dθ∫0r(θ)​f(rcosθ,rsinθ)rdr
  

• 若极点在D外，则D可用不等式组表示为：$α\leqslant θ\leqslant β,r_1(θ)\leqslant r\leqslant r_2(θ)$α⩽θ⩽β,r1​(θ)⩽r⩽r2​(θ)，则
  $\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}σ=\int_α^{β}\mathrm{d}θ\int_{r_1(θ)}^{r_2(θ)}f(r\cos{θ},r\sin{θ})r\mathrm{d}r$D∬​f(x,y)dσ=∫αβ​dθ∫r1​(θ)r2​(θ)​f(rcosθ,rsinθ)rdr
  

2 三重积分

2.1 三重积分的定义

空间有界闭区域Ω上的有界函数f(x,y,z)的三重积分为
$\iiint\limits_Df(x,y,z)\mathrm{d}v=\lim_{λ→0}\sum_{i=1}^{n}f(ξ_i,η_i,ζ_i)△v_i$D∭​f(x,y,z)dv=λ→0lim​i=1∑n​f(ξi​,ηi​,ζi​)△vi​
其中λ为各小闭区域直径中的最大值。
注： 若f(x,y,z)在空间有界闭区域Ω上连续，则三重积分$\iiint\limits_Df(x,y,z)\mathrm{d}v$D∭​f(x,y,z)dv一定存在
几何意义：假设一物体在空间闭区域Ω中有密度函数ρ(x,y,z)，且ρ(x,y,z)在Ω上连续，则$M=\iiint\limits_Ωρ(x,y,z)\mathrm{d}v$M=Ω∭​ρ(x,y,z)dv表示此物体的质量。

2.2 三重积分的计算

2.2.1 利用直角坐标计算三重积分

• 若Ω可表示为$z_1(x,y)\leqslant z\leqslant z_2(x,y),(x,y,)∈D_{xy}$z1​(x,y)⩽z⩽z2​(x,y),(x,y,)∈Dxy​，其中$D_{xy}=\{(x,y)|y_1(x)\leqslant y\leqslant y_2(x),a\leqslant x\leqslant b\}$Dxy​={(x,y)∣y1​(x)⩽y⩽y2​(x),a⩽x⩽b}为Ω在xOy面上的投影，则
  $\iiint\limits_Ωf(x,y,z)\mathrm{d}v=\int_a^b\mathrm{d}x\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}\mathrm{d}y\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$Ω∭​f(x,y,z)dv=∫ab​dx∫y1​(x)y2​(x)​dy∫z1​(x,y)z2​(x,y)​f(x,y,z)dz
  

• 若Ω可表示为$Ω=\{(x,y,z)|(x,y)∈D_z,c_1\leqslant z\leqslant c_2\}$Ω={(x,y,z)∣(x,y)∈Dz​,c1​⩽z⩽c2​}，其中D_z是平行于xOy平面，竖坐标为z的平面截闭区域Ω所得的一个平面闭区域，则
  $\iiint\limits_Ωf(x,y,z)\mathrm{d}v=\int_{c_1}^{c_2}\mathrm{d}z\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$Ω∭​f(x,y,z)dv=∫c1​c2​​dzDz​∬​f(x,y,z)dxdy
  

2.2.2 利用柱坐标计算三重积分

• 若柱面坐标变换为${\begin{cases} x=r\cos{θ}, \\ y=r\sin{θ}, \\ z=z, \end{cases}}$⎩⎪⎨⎪⎧​x=rcosθ,y=rsinθ,z=z,​则
  $\iiint\limits_Ωf(x,y,z)\mathrm{d}v=\iiint\limits_Ωf(r\cos{θ},r\sin{θ},z)r\mathrm{d}r\mathrm{d}θ$Ω∭​f(x,y,z)dv=Ω∭​f(rcosθ,rsinθ,z)rdrdθ
  

2.2.3 利用球面坐标计算三重积分

• 若球面坐标变换为${\begin{cases} x=r\sin{φ}\cos{θ}, \\ y=r\sin{φ}\sin{θ}, \\ z=r\cos{φ}, \end{cases}}$⎩⎪⎨⎪⎧​x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ,​则
  $\iiint\limits_Ωf(x,y,z)\mathrm{d}v=\iiint\limits_Ωf(r\sin{φ}\cos{θ},r\sin{φ}\sin{θ},r\cos{φ})×r^2\sin{φ}\mathrm{d}r\mathrm{d}φ\mathrm{d}θ$Ω∭​f(x,y,z)dv=Ω∭​f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)×r2sinφdrdφdθ
  

3 重积分的应用

3.1 重积分的几何应用

3.1.1 平面图形面积

$σ=\iint\limits_D\mathrm{d}σ$σ=D∬​dσ

3.1.2 曲面面积

由方程$z=z(x,y)$z=z(x,y)确定的单值光滑曲面Σ的面积为
$S=\iint\limits_{D_{xy}}\sqrt{1+(\frac{\partial{z}}{\partial{x}})^2+(\frac{\partial{z}}{\partial{y}})^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$S=Dxy​∬​1+(∂x∂z​)2+(∂y∂z​)2​dxdy
其中D_xy是该曲面在xOy平面上的投影区域。
注意： 当曲面Σ的方程为$x=x(y,z)，(y,z)∈D_{yz}$x=x(y,z)，(y,z)∈Dyz​或$y=y(x,z),(x,z)∈D_{xz}$y=y(x,z),(x,z)∈Dxz​时，可得该曲面的面积公式
$S=\iint\limits_{D_{yz}}\sqrt{1+(\frac{\partial{x}}{\partial{y}})^2+(\frac{\partial{x}}{\partial{z}})^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}z$S=Dyz​∬​1+(∂y∂x​)2+(∂z∂x​)2​dydz
或$S=\iint\limits_{D_{xz}}\sqrt{1+(\frac{\partial{y}}{\partial{x}})^2+(\frac{\partial{y}}{\partial{z}})^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}z$S=Dxz​∬​1+(∂x∂y​)2+(∂z∂y​)2​dxdz

3.1.3 空间立体的体积

• 曲顶柱体的体积
  若$f(x,y)\geqslant g(x,y),(x,y)∈D$f(x,y)⩾g(x,y),(x,y)∈D，则以$z=f(x,y)$z=f(x,y)为顶，以$z=g(x,y)$z=g(x,y)为底，且在xOy平面上投影区域为D的曲顶柱体体积为
  $V=\iint\limits_D[f(x,y)-g(x,y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$V=D∬​[f(x,y)−g(x,y)]dxdy
  

• $V=\iiint\limits_Ω\mathrm{d}v$V=Ω∭​dv
  

3.2 重积分的物理应用

3.2.1 质量

• 设平面薄片D的面密度为ρ(x,y)，则平面薄片D的质量
  $M=\iint\limits_Dρ(x,y)\mathrm{d}σ$M=D∬​ρ(x,y)dσ
  

• 设ρ(x,y,z)是空间物体Ω在点(x,y,z)处的体密度，Ω的质量为
  $M=\iiint\limits_Ωρ(x,y,z)\mathrm{d}v$M=Ω∭​ρ(x,y,z)dv
  

3.2.2 物体的重心坐标

• 设平面薄片D的面密度为ρ(x,y)，则D的重心坐标为
  $\bar{x}=\frac{\iint\limits_Dxρ(x,y)\mathrm{d}σ}{\iint\limits_Dρ(x,y)\mathrm{d}σ},\bar{y}=\frac{\iint\limits_Dyρ(x,y)\mathrm{d}σ}{\iint\limits_Dρ(x,y)\mathrm{d}σ}$xˉ=D∬​ρ(x,y)dσD∬​xρ(x,y)dσ​,yˉ​=D∬​ρ(x,y)dσD∬​yρ(x,y)dσ​
  

• 设空间物体Ω的体密度为ρ(x,y,z)，则Ω的重心坐标为
  $\bar{x}=\frac{\iiint\limits_Ωxρ(x,y,z)\mathrm{d}v}{\iiint\limits_Ωρ(x,y,z)\mathrm{d}v},\bar{y}=\frac{\iiint\limits_Ωyρ(x,y,z)\mathrm{d}v}{\iiint\limits_Ωρ(x,y,z)\mathrm{d}v},\bar{z}=\frac{\iiint\limits_Ωzρ(x,y,z)\mathrm{d}v}{\iiint\limits_Ωρ(x,y,z)\mathrm{d}v}$xˉ=Ω∭​ρ(x,y,z)dvΩ∭​xρ(x,y,z)dv​,yˉ​=Ω∭​ρ(x,y,z)dvΩ∭​yρ(x,y,z)dv​,zˉ=Ω∭​ρ(x,y,z)dvΩ∭​zρ(x,y,z)dv​
  

3.2.3 转动惯量

用I_x，I_y，I_z，I_o分别表示对x轴，y轴，z轴和原点的转动惯量。

• ρ(x,y)为平面薄片D的面密度，则
  $I_x=\iint\limits_Dy^2ρ(x,y)\mathrm{d}σ$Ix​=D∬​y2ρ(x,y)dσ
  $I_y=\iint\limits_Dx^2ρ(x,y)\mathrm{d}σ$Iy​=D∬​x2ρ(x,y)dσ
  $I_o=\iint\limits_D(x^2+y^2)ρ(x,y)\mathrm{d}σ$Io​=D∬​(x2+y2)ρ(x,y)dσ
  

• 若空间物体Ω的体密度为ρ(x,y,z)，则
  $I_x=\iiint\limits_Ω(y^2+z^2)ρ(x,y,z)\mathrm{d}v$Ix​=Ω∭​(y2+z2)ρ(x,y,z)dv
  $I_y=\iiint\limits_Ω(x^2+z^2)ρ(x,y,z)\mathrm{d}v$Iy​=Ω∭​(x2+z2)ρ(x,y,z)dv
  $I_z=\iiint\limits_Ω(x^2+y^2)ρ(x,y,z)\mathrm{d}v$Iz​=Ω∭​(x2+y2)ρ(x,y,z)dv
  $I_o=\iiint\limits_Ω(x^2+y^2+z^2)ρ(x,y,z)\mathrm{d}v=\frac12(I_x+I_y+I_z)$Io​=Ω∭​(x2+y2+z2)ρ(x,y,z)dv=21​(Ix​+Iy​+Iz​)
  关于xOy面的转动惯量为
  $I_{xy}=\iiint\limits_Ωz^2ρ(x,y,z)\mathrm{d}v$Ixy​=Ω∭​z2ρ(x,y,z)dv
  

3.2.4 物体对质点的引力

• 设平面薄片D的面密度ρ(x,y)在D上连续，则薄片对位于z轴上的点M₀(0,0,a)处单位质量的质点的引力为$F=\{F_x,F_y,F_z\}$F={Fx​,Fy​,Fz​}，其中
  $F_x=G\iint\limits_Dx\frac{ρ(x,y)\mathrm{d}σ}{(x^2+y^2+a^2)^{\frac32}}$Fx​=GD∬​x(x2+y2+a2)23​ρ(x,y)dσ​
  $F_y=G\iint\limits_Dy\frac{ρ(x,y)\mathrm{d}σ}{(x^2+y^2+a^2)^{\frac32}}$Fy​=GD∬​y(x2+y2+a2)23​ρ(x,y)dσ​
  $F_y=-G\iint\limits_D\frac{aρ(x,y)\mathrm{d}σ}{(x^2+y^2+a^2)^{\frac32}}$Fy​=−GD∬​(x2+y2+a2)23​aρ(x,y)dσ​
  

• 设空间物体Ω的体密度ρ(x,y,z)在Ω上连续，Ω外一质量为m₀的质点M₀(x₀,y₀,z₀)，则物体对质点的引力为$F=\{F_x,F_y,F_z\}$F={Fx​,Fy​,Fz​}，其中
  $F_x=\iiint\limits_Ω\frac{Gm_0(x-x_0)ρ(x,y,z)\mathrm{d}v}{[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2]^{\frac32}}$Fx​=Ω∭​[(x−x0​)2+(y−y0​)2+(z−z0​)2]23​Gm0​(x−x0​)ρ(x,y,z)dv​
  $F_y=\iiint\limits_Ω\frac{Gm_0(y-y_0)ρ(x,y,z)\mathrm{d}v}{[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2]^{\frac32}}$Fy​=Ω∭​[(x−x0​)2+(y−y0​)2+(z−z0​)2]23​Gm0​(y−y0​)ρ(x,y,z)dv​
  $F_z=\iiint\limits_Ω\frac{Gm_0(z-z_0)ρ(x,y,z)\mathrm{d}v}{[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2]^{\frac32}}$Fz​=Ω∭​[(x−x0​)2+(y−y0​)2+(z−z0​)2]23​Gm0​(z−z0​)ρ(x,y,z)dv​