伽马分布与 贝塔分布

伽马函数 

称    为伽马函数，其中参数 ，伽马函数具有如下性质：

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•  
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•   ,n为自然数；或写作  

余元公式：对于  ,有 

• 与贝塔函数  的关系 : 
• 对于  ;伽马函数是严格凹函数。
• x足够大时，可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值: 

 

伽马分布 

背景：

若一个元器件能抵挡一些外来冲击，但遇到第k次冲击即告失效，则第k 次冲击来到的时间X(寿命)服从形状参数为k的伽马分布  .

密度函数:

  为形状参数 ， 为尺度参数 ；

密度函数图如下所示，

数学期望与方差

与指数分布 的关系

若形状参数为整数k,则伽马变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和。即，

若 ,则 ,其中  【独立同分布】

卡方分布 

与伽马分布的关系

 称 的伽马分布为自由度为n的卡方分布，即

密度函数

 

期望与方差

 

注：后期再讲数理统计中的t分布与F分布时，再重新细讲卡方分布。参考重要抽样分布：卡方分布（χ2分布）、t分布和F分布

贝塔分布  

背景

很多比率，比如，产品的不合格率、机器的维修率、某商品的市场占有率、射击的命中率....都是在区间（0，1）上取值的随机变量，可用beta分布来描述这些随机变量

贝塔函数  

称   为贝塔函数，其中参数  。贝塔函数的性质：

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密度函数 

当 时，为f(x);否则为0.

其中 都是形状参数。【下图中 a就是 ，b就是 】

 贝塔分布是定义在（0，1）区间上的连续概率分布，是伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布。

数学期望与方差

与均匀分布的关系

当  时的贝塔分布就是区间（0，1）上的均匀分布，即  .

 

参考 Gamma/伽马函数，伽马分布 ; 伽玛函数