微分卷一第一章

1.1和1.2主要介绍了微分的历史背景。直接来到1.3

1.3用穷举法求抛物线面积

如1.3所示的抛物线，它被包在其中一个顶点为(b, b2$b^2$)的矩形中。

由观察得知，抛物线的面积小于该矩形面积的一半。拉基米德得出结论:抛物线面积为13b3$\frac{1}{3}{b}^3$.我们来看看这个结论是如何推导出来的

方法如下:
我们对图形分成很多个小的柱形，并且形成两个对抛物线面积的逼近。一个从下面，一个从上面，如图1.4所示。抛物线面积比由内部矩阵形成的面积大，比外部要小
如果把图形划分成越来越多的小的柱形，那么外部矩形形成的面积减少，内部矩阵增大。阿基米德意识到如果细分得足够多，那么对面积的逼近可以满足任意精度

为了简单起见，将区域划分成n块,每块长度为bn$\frac{b}{n}$, 于是横坐标的形式如下:
0,bn,2bn,3bn,...,n−1nb,nnb=b$0,\frac{b}{n},\frac{2b}{n},\frac{3b}{n},...,\frac{n-1}{n}b,\frac{n}{n}b=b$

如图所示。横坐标的表示为x=kbn$x=\frac{kb}{n}$, k = 0, 1, 2, 3,…n,外部矩形的高度为(kbn)2$(\frac{kb}{n}{)}^2$,所以每一个小矩形的面积为:

令Sn$S_n$为所有外部矩形之和，可以得到S的公式为:

以同样的方式，我们得到了内部矩形面积之和的公式(令内部矩形面积之和为sn$s_n$):

我们注意到，b3n3$\frac{b^3}{n^3}$括号里面的项之和为:

(注意，sn只比Sn少了n2这一项$s_n只比S_n少了n^2这一项$)

1.3对每一个大于等于1的n都有效$1.3对每一个大于等于1的n都有效$,如何证明?

先从(k+1)3=k3+3k2+3k+1$(k+1{)}^3=k^3+3k^2+3k+1$开始,把它写成以下形式:

令k=1,2,...n−1$令k=1,2,...n-1$,我们得到n - 1个公式,

3∗12+3∗1+1=23−1$3\ast 1^2+3\ast 1+1=2^3-1$
3∗22+3∗2+1=33−23$3\ast 2^2+3\ast 2+1=3^3-2^3$
....$....$
3(n−1)2+3(n−1)+1=n3−(n−1)3$3(n-1{)}^2+3(n-1)+1=n^3-(n-1{)}^3$

把这些公式相加，右边消去得只剩下两项,于是我们得到

简化后可以得到

将等式两边加上n2$n^2$即可得到1.3

我们可以得到以下不等式:

这个不等式对n>=1恒成立

如果我们把不等式两边乘以b3n3$\frac{b^3}{n^3}$并且利用等式1.1和1.2，我们可以得到

所以，我们现在知道对于每个n，b33$\frac{b^3}{3}$是介于sn和Sn$s_n和S_n$之间的数
现在我们来证明b33$\frac{b^3}{3}$是具有这种性质的唯一的数

也就是说，任意数A，如果满足

那么对于任意n，A = b33$\frac{b^3}{3}$

为了证明，我们再次利用1.5,向左边的不等式两边加上n2$n^2$,得到

等式两边乘以b3n3$\frac{b^3}{n^3}$，结合1.1，得到

相似地，通过将1.5右边的不等式两边减去n2$n^2$,并且乘以b3n3$\frac{b^3}{n^3}$,可以得到

因此，对任意n > = 1,满足1.7的A，也必须满足

现在A有三种可能性:
1.A>b33$A>\frac{b^3}{3}$
2.A<b33$A<\frac{b^3}{3}$
3.A=b33$A=\frac{b^3}{3}$

如果我们能证明1,2矛盾，那么就得到A=b33$A=\frac{b^3}{3}$

如何证明?
假设A>b33=true$A>\frac{b^3}{3}=true$,由1.10的第二个不等式我们得到对于任意n >= 1

因为A−b33$A-\frac{b^3}{3}$大于0，因此我们两边除以A−b33$A-\frac{b^3}{3}$
然后乘以n,得到
对于每个n都成立
但是我们发现这对于n>=b3/(A−b3/3)$n>=b^3/(A-b^3/3)$显然是不成立的。因此矛盾，同理可以证明A<b33$A<\frac{b^3}{3}$矛盾。因此A=b33$A=\frac{b^3}{3}$

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