常系数齐次线性微分方程

先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法，再把二阶方程的解法推广到n阶方程。

在二阶齐次线性微分方程
$y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1}$y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)
中，如果$y',y$y′,y的系数$P(x)$P(x)，$Q(x)$Q(x)均为常数，即（1）式成为
$y''+py'+qy=0 \tag{2}$y′′+py′+qy=0(2)
其中p，q是常数，那么称（2）为二阶常系数齐次线性微分方程。如果p，q不全为常数，称（1）为二阶变系数齐次线性微分方程。

由之前讨论可知，要找微分方程（2）的通解，可以先求出它的两个解$y_1,y_2$y1​,y2​，如果它们之比不为常数，即$y_1$y1​与$y_2$y2​线性无关，那么$y=C_1y_1+C_2y_2$y=C1​y1​+C2​y2​就是方程（2）的通解。

当r为常数时，指数函数$y=e^{rx}$y=erx和它的各阶导数都只相差一个常熟因子。由于指数函数有这个特点，因此用$y=e^{rx}$y=erx来尝试，看能否选取适当的常数r，使$y=e^{rx}$y=erx满足方程（2）

将$y=e^{rx}$y=erx求导，得到
$y'=re^{rx},\quad y''=r^2e^{rx}$y′=rerx,y′′=r2erx
把$y,y'$y,y′和$y''$y′′代入方程（2），得
$(r^2+pr+q)e^{rx}=0$(r2+pr+q)erx=0
由于$e^{rx}\neq 0$erx​=0，所以
$r^2+pr+1=0 \tag{3}$r2+pr+1=0(3)
由此可见，只要r满足代数方程（3），函数$r=e^{rx}$r=erx就是微分方程（2）的解，我们把代数方程（3）叫做微分方程（2）的特征方程。

特征方程（3）是一个二次代数方程，其中$r^2,r$r2,r的系数及常数项恰好依次是微分方程（2）中$y'',y'$y′′,y′及$y$y的系数。

特征方程（3）的两个根$r_1,r_2$r1​,r2​可以用公式
$r_{1,2}=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$r1,2​=2−p±p2−4q​​
求出。它们有三种不同的情形：

（i）当$P^2-4q>0$P2−4q>0时，$r_1,r_2$r1​,r2​是两个不相等的实根
$r_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2},\quad r_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}$r1​=2−p+p2−4q​​,r2​=2−p−p2−4q​​
（ii）当$p^2-4q=0$p2−4q=0时，$r_1,r_2$r1​,r2​是两个相等的实根
$r_1=r_2=-\frac{p}{2}$r1​=r2​=−2p​
（iii）当$p^2-4q<0$p2−4q<0时，$r_1,r_2$r1​,r2​是一对共轭复根
$r_1=\alpha+\beta i,\quad r_2=\alpha-\beta i$r1​=α+βi,r2​=α−βi
其中
$\alpha=-\frac{p}{2},\quad \beta=\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}$α=−2p​,β=24q−p2​​
相应地，微分方程（2）的通解也有三种不同的情形。分别讨论如下：

（i）特征方程有两个不相等的实根：$r_1\neq r_2$r1​​=r2​

由上面讨论知道，$y_1=e^{r_1x},y_2=e^{r_2x}$y1​=er1​x,y2​=er2​x是微分方程（2）的两个解，并且$\frac{y_2}{y_1}=\frac{e^{r_2x}}{e^{r_1x}}=e^{(r_2-r_1)x}$y1​y2​​=er1​xer2​x​=e(r2​−r1​)x不是常数，因此微分方程（2）的通解为
$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$y=C1​er1​x+C2​er2​x
（ii）特征方程有两个相等的实根：$r_1=r_2$r1​=r2​

这时，只得到微分方程（2）的一个解
$y_1=e^{r_1x}$y1​=er1​x
为了得出微分方程（2）的通解，还需求出另一个解$y_2$y2​，并且要求$\frac{y_2}{y_1}$y1​y2​​不是常数。设$\frac{y_2}{y_1}=u(x)$y1​y2​​=u(x)，即$y_2=e^{r_1x}u(x)$y2​=er1​xu(x)。下面来求$u(x)$u(x)。将$y_2$y2​求导，得
$y_2'=e^{r_1x}(u'+r_1u) \\ y_2''=e^{r_1x}(u''+2r_1u'+r_1^2u)$y2′​=er1​x(u′+r1​u)y2′′​=er1​x(u′′+2r1​u′+r12​u)
将$y_2,y_2'$y2​,y2′​和$y_2''$y2′′​代入微分方程（2），得
$e^{r_1x}[(u''+2r_1u'+r_1^2u)+p(u'+r_1u)+qu]=0$er1​x[(u′′+2r1​u′+r12​u)+p(u′+r1​u)+qu]=0
约去$e^{r_1x}$er1​x，并合并同类项，得
$u''+(2r_1+p)u'+(r_1^2+pr_1+q)u=0$u′′+(2r1​+p)u′+(r12​+pr1​+q)u=0
由于$r_1$r1​是特征方程（3）的二重根。因此$r_1^2+pr_1+q=0$r12​+pr1​+q=0，且$2r_1+p=0$2r1​+p=0，于是得
$u''=0$u′′=0
因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取u=x，由此得到微分方程（2）的另一个解
$y_2=xe^{r_1x}$y2​=xer1​x
从而微分方程（2）的通解为
$y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_1x}$y=C1​er1​x+C2​xer1​x
即
$y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$y=(C1​+C2​x)er1​x
（iii）特征方程有一对共轭复根：$r_1=\alpha+\beta i,r_2=\alpha-\beta i(\beta \neq 0)$r1​=α+βi,r2​=α−βi(β​=0)

这时，$y_1=e^{(\alpha+\beta i)x},y_2=e^{(\alpha-\beta i)x}$y1​=e(α+βi)x,y2​=e(α−βi)x是微分方程（2）的两个解，但它们是复值函数形式。为了得出实值函数形式的解，先利用欧拉公式$e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$eiθ=cosθ+isinθ把$y_1,y_2$y1​,y2​改写为
$y_1=e^{(\alpha+\beta i)x}=e^{ax}·e^{\beta xi}=e^{ax}(cos\beta x+isin\beta x) \\ y_2=e^{(\alpha-\beta i)x}=e^{ax}·e^{-\beta xi}=e^{ax}(cos\beta x-isin\beta x)$y1​=e(α+βi)x=eax⋅eβxi=eax(cosβx+isinβx)y2​=e(α−βi)x=eax⋅e−βxi=eax(cosβx−isinβx)
由于复值函数$y_1$y1​与$y_2$y2​之间成共轭关系，因此，取它们的和除以2就得到它们的实部，取它们的差除以2i就得到它们的虚部。由于方程（2）的解复合叠加原理，所以实值函数
$\hat y_1=\frac{1}{2}(y_1+y_2)=e^{ax}cos\beta x ,\\ \hat y_2=\frac{1}{2i}(y_1-y_2)=e^{ax}sin\beta x$y^​1​=21​(y1​+y2​)=eaxcosβx,y^​2​=2i1​(y1​−y2​)=eaxsinβx
还是微分方程（2）的解，且$\frac{\hat y_1}{\hat y_2}=\frac{e^{ax}cos\beta x}{e^{ax}sin\beta x}=cot \,\beta x$y^​2​y^​1​​=eaxsinβxeaxcosβx​=cotβx不是常数，所以微分方程（2）的通解为
$y=e^{ax}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)$y=eax(C1​cosβx+C2​sinβx)
综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程
$y''+py'+qy =0$y′′+py′+qy=0
的通解的步骤如下：

第一步：写出微分方程（2）的特征方程
$r^2+pr+q=0 \tag{3}$r2+pr+q=0(3)
第二步：求出特征方程（3）的两个根$r_1,r_2$r1​,r2​。

第三步：根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：