电磁场复习（3-4）

第三章 静态电磁场及其边界问题的解

3.0 重点

• 基本方程、边界条件、和麦克斯韦方程联系在一起
• 求电容：1、求电位差 2、电位差与电荷之间的比
• 求能量密度 如何构建电场和磁场
• 电位➡️电场
• 矢量磁位➡️磁场
• 自感
  • 内自感
  • 外自感
• 恒定磁场能量密度（与电场对应）
• 镜像法不要求掌握

• 静态电磁场：
  场量不随时间变化，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场

3.1 静电场分析

3.1.2 电位函数

• 定义：由$\;\triangledown \times \vec{E}= 0\;$▽×E=0得$\;\vec{E}=-\triangledown \varphi\;$E=−▽φ

  即：静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数$\;\varphi\;$φ称为静电场的标量电位或简称电位

  根据：梯度的散度为零

• 电位的表示：

  • 体电荷的电位
    $\varphi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_V\frac{\rho(\vec{r'})}{R}dV'+C$φ(r)=4πε1​∫V​Rρ(r′)​dV′+C
  • 面电荷的电位
    $\varphi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_S\frac{\rho_S(\vec{r'})}{R}dS'+C$φ(r)=4πε1​∫S​RρS​(r′)​dS′+C
  • 线电荷的电位
    $\varphi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\int_C\frac{\rho_l(\vec{r'})}{R}dl'+C$φ(r)=4πε1​∫C​Rρl​(r′)​dl′+C
  • 点电荷的电位
    $\varphi(\vec{r})=\frac{q}{4\pi\varepsilon R}+C$φ(r)=4πεRq​+C

    补充(常用公式)：$\triangledown(\frac{1}{R})=-\frac{\vec{R}}{R^3}$▽(R1​)=−R3R​

• 电位差
  $\int_P^QE\cdot d\vec{l}=-\int_P^Qd\varphi = \varphi(P)-\varphi(Q) = U$∫PQ​E⋅dl=−∫PQ​dφ=φ(P)−φ(Q)=U

  两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从$\;P\;$P点移至$\;Q\;$Q点所做的功

  相关例题：PPT第三章p9

• 电位的微分方程

  • 标量泊松方程：
    $\left . \begin{array}{lr} \triangledown \cdot \vec{D}=\rho\Rightarrow\triangledown \cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon}\\ \vec{E}=-\triangledown \varphi \end{array} \right\}\;\;\Longrightarrow\;\;\triangledown^2\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon}$▽⋅D=ρ⇒▽⋅E=ερ​E=−▽φ​}⟹▽2φ=−ερ​
  • 拉普拉斯方程：
    $\rho=0\;\;\Longrightarrow\;\;\triangledown^2\varphi = 0$ρ=0⟹▽2φ=0

• 静电位的边界条件

  • 紧贴界面的相邻两点，其电位分别为$\varphi_1\;\;\varphi_2$φ1​φ2​
    $\varphi_1=\varphi_2$φ1​=φ2​

  $\varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n}-\varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}=\rho_S$ε2​∂n∂φ2​​−ε1​∂n∂φ1​​=ρS​

  • 若介质分界面上无自由电荷
    $\varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n}=\varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}$ε2​∂n∂φ2​​=ε1​∂n∂φ1​​
  • 导体表面上电位的边界条件：$\;\;\varphi=\;$φ=常数
    $\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial n}=-\rho_S$ε∂n∂φ​=−ρS​

3.1.3 导体系统的电容与部分电容

电容：电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量

• 孤立导体的电容：
  $C=\frac{q}{\varphi}$C=φq​

• 两个带等量异号电荷$\;(\pm q)\;$(±q)的导体组成的电容器，其电容为：
  $C=\frac{q}{U}=\frac{q}{\left|\varphi_1-\varphi_2\right|}$C=Uq​=∣φ1​−φ2​∣q​

• 计算电容步骤：
  

  相关例题：PPT第三章p17

3.1.4 静电场的能量

• 静电场的能量：

  • 点电荷
    $W_e=\frac{1}{2}q\varphi$We​=21​qφ
  • 体分布电荷
    $W_e=\frac{1}{2}\int_Vq\varphi dV$We​=21​∫V​qφdV
  • 面分布电荷
    $W_e=\frac{1}{2}\int_Sq\varphi dS$We​=21​∫S​qφdS

• 电场能量密度：
  $w_e=\frac{1}{2}\vec{D}\vec{E}=\frac{1}{2}\varepsilon E^2$we​=21​DE=21​εE2

3.2 导电媒质中的恒定电场分析

由$\;J=\sigma E\;$J=σE可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场

• 恒定电场的基本场矢量是电流密度$\;\vec{J}(\vec{r})\;$J(r)和电场强度$\;\vec{E}(\vec{r})\;$E(r)

• 恒定电场的基本方程为：

  • 微分形式
    $\left\{ \begin{array}{lr} \triangledown\cdot\vec{J}=0\\ \triangledown\times\vec{E}=0 \end{array} \right .${▽⋅J=0▽×E=0​
  • 积分形式
    $\left\{ \begin{array}{lr} \oint_S\vec{J}\cdot d\vec{S}=0\\ \oint_C\vec{E}\cdot d\vec{l}=0 \end{array} \right .${∮S​J⋅dS=0∮C​E⋅dl=0​

• 恒定电场的电位函数
  $\triangledown^2\varphi = 0$▽2φ=0

• 恒定电场的边界条件

  • 场矢量的边界条件
    $\left\{ \begin{array}{lr} \vec{e_n}\cdot(\vec{J_1}-\vec{J_2})=0\;\;即\;\;J_{1n}=J_{2n}\\ \vec{e_n}\times(\vec{E_1}-\vec{E_2})=0\;\;即\;\;E_{1t}=E_{2t} \end{array} \right .${en​​⋅(J1​​−J2​​)=0即J1n​=J2n​en​​×(E1​​−E2​​)=0即E1t​=E2t​​

  • 场矢量的折射关系
    $\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\sigma_1}{\sigma_2}$tanθ2​tanθ1​​=σ2​σ1​​
    

  • 导电媒质分界面上的电荷面密度
    $\rho_S=(\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1}-\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2})J_n$ρS​=(σ1​ε1​​−σ2​ε2​​)Jn​

  • 电位的边界条件
    $\varphi_1=\varphi_2\;\;\;\;\sigma_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}=\sigma_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n}$φ1​=φ2​σ1​∂n∂φ1​​=σ2​∂n∂φ2​​

• 恒定电场与静电场的比拟
  

  漏电导$\;G\;$G

3.3 恒定磁场分析

3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件

• 基本方程
  • 微分形式
    $\left\{ \begin{array}{lr} \triangledown\times\vec{H}=\vec{J}\\ \triangledown\cdot\vec{B}=0 \end{array} \right .${▽×H=J▽⋅B=0​
  • 积分形式
    $\left\{ \begin{array}{lr} \oint_C\vec{H}\cdot d\vec{l}=\int_S\vec{j}\cdot d\vec{S}\\ \oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0 \end{array} \right .${∮C​H⋅dl=∫S​j​⋅dS∮S​B⋅dS=0​
  • 本构关系
    $\vec{B}=\mu\vec{H}$B=μH
• 边界条件
  $\left\{ \begin{array}{lr} \vec{e_n}\cdot(\vec{B_1}-\vec{B_2})=0\\ \vec{e_n}\times(\vec{H_1}-\vec{H_2})=\vec{J_S} \end{array} \right .${en​​⋅(B1​​−B2​​)=0en​​×(H1​​−H2​​)=JS​​​
  若分界面上不存在面电流，即$\;J_S=0\;$JS​=0，则
  $\left\{ \begin{array}{lr} \vec{e_n}\cdot(\vec{B_1}-\vec{B_2})=0\\ \vec{e_n}\times(\vec{H_1}-\vec{H_2})=0 \end{array} \right .${en​​⋅(B1​​−B2​​)=0en​​×(H1​​−H2​​)=0​

3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位

• 磁矢位的定义：
  由
  $\triangledown\cdot\vec{B}\;\;\Longrightarrow\;\;\vec{B}=\triangledown\times\vec{A}$▽⋅B⟹B=▽×A

  $\vec{A}\;\;$A是矢量磁位或称磁矢位

  根据旋度的散度为零

• 磁矢位的微分方程

  • 矢量泊松方程
    $\triangledown^2\vec{A}=-\mu\vec{J}$▽2A=−μJ
  • 矢量拉普拉斯方程$\;\;\vec{J}=0$J=0
    $\triangledown^2\vec{A}=0$▽2A=0

• 磁矢位的表达式

  • 体电流
    $\vec{A}(\vec{r})=\frac{\mu}{4\pi}\int_V\frac{J(\vec{r'})}{R}dV'$A(r)=4πμ​∫V​RJ(r′)​dV′

    具体证明在PPT第三章p54

  • 面电流
    $\vec{A}(\vec{r})=\frac{\mu}{4\pi}\int_S\frac{J_S(\vec{r'})}{R}dS'$A(r)=4πμ​∫S​RJS​(r′)​dS′

  • 细线电流
    $\vec{A}(\vec{r})=\frac{\mu I}{4\pi}\oint_C\frac{d\vec{l'}}{R}$A(r)=4πμI​∮C​Rdl′​

• 利用磁矢位计算磁通量
  $\varPhi=\oint_C\vec{A}\cdot d\vec{l}$Φ=∮C​A⋅dl

• 磁矢位的边界条件
  $\vec{A_1}=\vec{A_2}\\ \vec{e_n}\times(\frac{1}{\mu_1}\triangledown\times\vec{A_1}-\frac{1}{\mu_2}\triangledown\times\vec{A_2})=\vec{J_S}$A1​​=A2​​en​​×(μ1​1​▽×A1​​−μ2​1​▽×A2​​)=JS​​

• 恒定磁场的标量磁位

  $\triangledown\times\vec{H}=0\;\;\Longrightarrow \;\;\vec{H}= -\triangledown\varphi_m$▽×H=0⟹H=−▽φm​

• 标量磁位的表达式
  $\varphi_m(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\mu_0}\int_V\frac{\rho_m(\vec{r'})}{R}dV'$φm​(r)=4πμ0​1​∫V​Rρm​(r′)​dV′

• 标量磁位的边界条件
  $\varphi_{m1}=\varphi_{m2}\;\;\;\;\mu_1\frac{\partial\varphi_{m1}}{\partial n}=\mu_2\frac{\partial\varphi_{m2}}{\partial n}$φm1​=φm2​μ1​∂n∂φm1​​=μ2​∂n∂φm2​​
  

3.3.3 电感

• 磁通与磁链

  • 单匝细线圈磁通量
    $\varPsi=\varPhi$Ψ=Φ
  • 多匝线圈磁通量
    $\varPsi=\sum_i\varPhi_i$Ψ=i∑​Φi​
  • 粗导线则需要考虑穿过导体部分的内磁通量，不穿过导体的外磁通量
    $内磁通量\;\varPsi_o\;\\ 外磁通量\;\varPsi_i\;$内磁通量Ψo​外磁通量Ψi​
    如图：
    

• 自感

  • 定义式：
    $L=\frac{\varPsi}{I}$L=IΨ​

    $I\;$I为回路$C\;$C中的电流，$\;\varPsi\;$Ψ为磁场与回路$\;C\;$C的交链

  • 粗导体
    • 内自感
      $L=\frac{\varPsi_i}{I}$L=IΨi​​

      常用：两根导线单位的长度的内自感
      $L_i=\frac{\mu_0}{4\pi}$Li​=4πμ0​​

    • 外自感
      $L=\frac{\varPsi_o}{I}$L=IΨo​​

  自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关，与电流无关

• 互感

  两闭合回路通电的时候，其中一闭合回路上的电流不仅与其自身交链的磁链成正比，还与另外一回路的交链的磁链成正比

  • 回路$\;C_1\;$C1​对回路$\;C_2\;$C2​的互感
    $M_{21}=\frac{\varPsi_{21}}{I_1}$M21​=I1​Ψ21​​
  • 回路$\;C_2\;$C2​对回路$\;C_1\;$C1​的互感
    $M_{12}=\frac{\varPsi_{12}}{I_2}$M12​=I2​Ψ12​​

• 纽曼公式(了解就好)

  $M=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{C_1} \oint_{C_2}\frac{d \vec{l_1}\cdot d\vec{l_2}}{R}$M=4πμ0​​∮C1​​∮C2​​Rdl1​​⋅dl2​​​

磁场能量密度

• 磁场能量密度
  $w_m=\frac{1}{2}\vec{B}\vec{H}=\frac{1}{2}\mu\vec{H^2}$wm​=21​BH=21​μH2
• 磁场能量
  $W_m=\frac{1}{2}\int_V\vec{B}\vec{H}dV=\frac{1}{2}\int_V\mu\vec{H^2}dV$Wm​=21​∫V​BHdV=21​∫V​μH2dV

第四章 时变电磁场

4.0 重点

• 波动方程：知道内容
• 电磁场守恒定理：$W = W_e + W_m$W=We​+Wm​
• 坡印廷矢量
• $\color{#FF3030}{时谐场}$时谐场
  • 复数形式麦克斯韦方程➡️平均能量密度
  • 求瞬时坡印廷矢量
  • 平均坡印廷矢量

4.1 波动方程

无源区的波动方程

$\left\{ \begin{array}{lr} \triangledown^2\vec{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=0\\ \triangledown^2\vec{H}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2}=0 \end{array} \right .${▽2E−με∂t2∂2E​=0▽2H−με∂t2∂2H​=0​

推证：PPT第四章p9

4.3 电磁能量守恒

• 电磁场的能量密度
  $w=w_e+w_m=\frac{1}{2}\vec{E}\vec{D}+\frac{1}{2}\vec{H}\vec{B}$w=we​+wm​=21​ED+21​HB

• 空间区域$\;V\;$V中的电磁能量
  $W=\int_V dV=\int_V(\frac{1}{2}\vec{E}\cdot\vec{D}+\frac{1}{2}\vec{H}\cdot\vec{B})dV$W=∫V​dV=∫V​(21​E⋅D+21​H⋅B)dV

• 电磁能量守恒定律为

  $进入体积\;V\;的能量=体积\;V\;内增加的能量+体积\;V\;内损耗的能量$进入体积V的能量=体积V内增加的能量+体积V内损耗的能量

4.3.3 坡印廷

• 坡印廷定理

  表征电磁能量守恒关系的定理

  • 微分形式
    $-\triangledown\cdot(\vec{E}\times\vec{H})=\frac{\partial}{\partial t}(\frac{1}{2}\vec{E}\cdot\vec{D}+\frac{1}{2}\vec{H}\vec{B})+\vec{E}\cdot\vec{J}$−▽⋅(E×H)=∂t∂​(21​E⋅D+21​HB)+E⋅J
  • 积分形式
    $-\oint_S(\vec{E}\times\vec{H})\cdot d\vec{S}= \frac{d}{dt}\int_V(\frac{1}{2}\vec{E}\cdot\vec{D}+\frac{1}{2}\vec{H}\cdot\vec{B})d V+\int_V \vec{E}\cdot\vec{J}d V$−∮S​(E×H)⋅dS=dtd​∫V​(21​E⋅D+21​H⋅B)dV+∫V​E⋅JdV

• 坡印廷矢量

  描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量

  • 定义
    $\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}$S=E×H
  • 物理意义
    $\vec{S}\;$S的方向：电磁能量传输的方向
    $\vec{S}\;$S的大小：通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁功率

    相关例题：PPT第四章p27

4.5 时谐电磁场

概念：如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场

4.5.1 时谐电磁场的复数形式

• 设$\;u(\vec{r},t)\;$u(r,t)是一个以角频率$\;\omega\;$ω随时间$\;t\;$t作正弦变化的场量
  • 实数表示法
    $u(\vec{r},t)=u_m(\vec{r})\cos[\omega t+\phi(\vec{r})]$u(r,t)=um​(r)cos[ωt+ϕ(r)]
  • 复数表示法
    $u(\vec{r},t)=Re[\dot{u}(\vec{r})e^{j\omega t}]$u(r,t)=Re[u˙(r)ejωt]

    其中 复振幅$\;\;\dot{u}(\vec{r})=u_m(\vec{r})e^{j\phi(\vec{r})}$u˙(r)=um​(r)ejϕ(r)

    时间因子：$\;\;e^{j\omega t}$ejωt
    相位因子：$\;\;e^{j\phi(\vec{r})}$ejϕ(r)

• 有关复数表示的进一步说明

$\Longrightarrow\;\;$⟹复数式只是数学表示方式， 不代表真实的场
$\Longrightarrow\;\;$⟹真实场是复数式的实部， 即瞬时表达式
$\Longrightarrow\;\;$⟹由于时间因子是默认的， 有时它不用写出来，只用与坐标有关的部份就可表示复矢量

相关例题：PPT第四章p44

4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程

• 表达式
  $\left\{ \begin{array}{lr} \triangledown\times\dot{\vec{H_m}}=\dot{\vec{J_m}}+j\omega\dot{\vec{D_m}}\\ \triangledown\times\dot{\vec{E_m}}=-j\omega\dot{\vec{B_m}}\\ \triangledown\cdot\dot{\vec{B_m}}=0\\ \triangledown\cdot\dot{\vec{D_m}}=\dot{\rho_m} \end{array} \right .\;\;\Longrightarrow\;\;\;\left\{ \begin{array}{lr} \triangledown\times\vec{H}=\vec{J}+j\omega\vec{D}\\ \triangledown\times\vec{E}=-j\omega\vec{B}\\ \triangledown\cdot\vec{B}=0\\ \triangledown\cdot\vec{D}=\rho \end{array} \right .$⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧​▽×Hm​​˙​=Jm​​˙​+jωDm​​˙​▽×Em​​˙​=−jωBm​​˙​▽⋅Bm​​˙​=0▽⋅Dm​​˙​=ρm​˙​​⟹⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​▽×H=J+jωD▽×E=−jωB▽⋅B=0▽⋅D=ρ​

  略去$\;\;\dot{}\;\;$˙和$\;_m\;$m​

相关例题：PPT第四章p50

4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量

• 电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方关系，这种关系式称为二次式

• 使用二次式时需要注意的问题

$\Longrightarrow\;\;$⟹二次式只有实数的形式，没有复数形式
$\Longrightarrow\;\;$⟹场量是实数式时，直接代入二次式即可
$\Longrightarrow\;\;$⟹场量是复数式时，应先取实部再代入， 即“先取实后相乘”
$\Longrightarrow\;\;$⟹复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子

• 二次式的时间平均值
  • 实矢量（在时间周期$\;T\;$T中的平均值）
    • 平均电场能量密度
      $w_{eav}=\frac{1}{T}\int_0^T\frac{1}{2}\vec{E}\cdot\vec{D}dt$weav​=T1​∫0T​21​E⋅Ddt
    • 平均磁场能量密度
      $w_{mav}=\frac{1}{T}\int_0^T\frac{1}{2}\vec{H}\cdot\vec{B}dt$wmav​=T1​∫0T​21​H⋅Bdt
    • 平均能流密度矢量
      $\vec{S_{av}}=\frac{1}{T}\int_0^T\frac{1}{2}\vec{E}\times\vec{H}dt$Sav​​=T1​∫0T​21​E×Hdt
  • 复矢量
    • 平均电场能量密度
      $w_{eav}=\frac{1}{4}Re(\vec{E}\cdot\vec{D}^*)$weav​=41​Re(E⋅D∗)
    • 平均磁场能量密度
      $w_{mav}=\frac{1}{4}Re(\vec{H}\cdot\vec{B}^*)$wmav​=41​Re(H⋅B∗)
    • 平均能流密度矢量
      $\vec{S_{av}}=\frac{1}{4}Re(\vec{E}\times\vec{H}^*)$Sav​​=41​Re(E×H∗)

相关例题：PPT第四章p66